Primo coeff. della serie di fourier

[squall1]

ho un dubbio su come trovare il primo coeff. della serie di foureir (a0).
la formula per trovarlo in sè è piuttosto chiara, il dubbio mi viene per quanto riguarda il periodo della funzione e gli estremi di integrazione, cioè:
supponiamo di avere un funzione di periodo 6 definita in (-3,+3).
$ 1 / (2T) int_(-T)^(T) f(x) $
quella T prende il valore di 3 o di 6?
nella prima parte della formula (1/(2T)) quel 2 ci va sempre?
grazie in anticipo

[dissonance]

A queste domande non si può rispondere perché dipendono dalle convenzioni che adotti tu. Ma ti posso suggerire un trucco per ricordarsi in fretta i coefficienti di Fourier, utilissimo se ti viene un black-out di memoria ad un esame.

Abbiamo $f:[-3, 3] \to RR$. Allora, fregandocene dei dettagli tecnici (in che senso converge la serie?), sappiamo che sarà

$f(x)=frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^infty [a_n cos(pi/3 nx)+b_n sin(pi/3 nx)]$

e quindi, integrando da $-3$ a $3$, (e ancora ce ne freghiamo dei dettagli tecnici)

$int_{-3}^3f(x)dx=(a_0)/2int_{-3}^3dx + \sum_{n=1}^infty [a_n int_{-3}^3cos(pi/3 nx)dx+b_n int_{-3}^3sin(pi/3 nx)dx]=(a_0)/2*6=3a_0$

qui gli integrali in seno e coseno spariscono perché stai integrando su un periodo completo. Quindi

$a_0=1/3int_{-3}^3 f(x)dx$.

P.S.: Chiaramente tutto questo è dipeso dal fatto che io ho scritto la serie di Fourier come

$f(x)=frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^infty [a_n cos(pi/3 nx)+b_n sin(pi/3 nx)]$.

Se l'avessi scritta in un altro modo, per esempio così

$f(x)=a_0 + sum_{n=1}^infty [a_n cos(pi/3 nx)+b_n sin(pi/3 nx)]$,

allora avrei avuto un risultato diverso. Ma questo metodo me lo fa ricordare subito.