Primitive su $RR$
Salve ragazzi, ho un dubbio su questo argomento.
Al corso abbiamo definito il concetto di primitiva al seguente modo :
Def :
Sia $f : I -> RR$ . $I$ intervallo di $RR$. Si chiama primitiva di $f$ , se esiste, la funzione $F: I -> RR$ derivabile (e quindi continua) tale che $AA x \in I : F'(x)=f(x)$.
Prima domanda : Detta così, sembra che si possa parlare di primitiva solo per funzioni definite su intervalli. Ma allora cosa mi permette di affermare che ad esempio, una primitiva di $g : RR-> RR$ , $g(x)=1$ è $G(x)=x$?
A meno di sbagliarmi, non penso che $RR$ stesso sia un intervallo, perché altrimenti, per un noto teorema (*), ogni funzione reale dovrebbe avere almeno una primitiva, cosa non vera in generale.
Un'altra questione che mi preme è il seguente teoremino :
Th :
Sia $f : I -> RR$ , $I$ intervallo di $RR$. $F,G$ primitive di $f$ allora $F$ e $G$ differiscono di una costante.
La dimostrazione di tale teorema , semplice ma profonda, si fonda sul fatto che la nostra funzione sia definita su un intervallo. Ecco, e se la nostra funzione fosse definita su tutto $RR$? Chi mi assicura che il teorema funzioni anche in questo caso? Non mi sembra così ovvio.
Spero in delucidazioni e grazie mille.
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(*) il teorema a cui mi riferisco è il seguente :
Se $f$ è definita su di un intervallo, allora ammette primitiva.
EDIT
E forse mi sa che ho preso un granchio. $RR$ può essere visto come intervallo di tipo $]-\infty,+\infty[$ e quindi ha senso parlare di primitive su $RR$.
Mi ha tratto in inganno (*) e il controesempio che ho portato.. e inoltre (*) richiede la continuità, ipotesi che ho dimenticato..
Assodato che tutto ciò che ho scritto vale se $I$ è un intervallo, cosa succede se $f$ è definita su un insieme $A$ qualunque? Ci sono dei casi in cui si può parlare di primitiva oppure no?
Al corso abbiamo definito il concetto di primitiva al seguente modo :
Def :
Sia $f : I -> RR$ . $I$ intervallo di $RR$. Si chiama primitiva di $f$ , se esiste, la funzione $F: I -> RR$ derivabile (e quindi continua) tale che $AA x \in I : F'(x)=f(x)$.
Prima domanda : Detta così, sembra che si possa parlare di primitiva solo per funzioni definite su intervalli. Ma allora cosa mi permette di affermare che ad esempio, una primitiva di $g : RR-> RR$ , $g(x)=1$ è $G(x)=x$?
A meno di sbagliarmi, non penso che $RR$ stesso sia un intervallo, perché altrimenti, per un noto teorema (*), ogni funzione reale dovrebbe avere almeno una primitiva, cosa non vera in generale.
Un'altra questione che mi preme è il seguente teoremino :
Th :
Sia $f : I -> RR$ , $I$ intervallo di $RR$. $F,G$ primitive di $f$ allora $F$ e $G$ differiscono di una costante.
La dimostrazione di tale teorema , semplice ma profonda, si fonda sul fatto che la nostra funzione sia definita su un intervallo. Ecco, e se la nostra funzione fosse definita su tutto $RR$? Chi mi assicura che il teorema funzioni anche in questo caso? Non mi sembra così ovvio.
Spero in delucidazioni e grazie mille.
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(*) il teorema a cui mi riferisco è il seguente :
Se $f$ è definita su di un intervallo, allora ammette primitiva.
EDIT
E forse mi sa che ho preso un granchio. $RR$ può essere visto come intervallo di tipo $]-\infty,+\infty[$ e quindi ha senso parlare di primitive su $RR$.
Mi ha tratto in inganno (*) e il controesempio che ho portato.. e inoltre (*) richiede la continuità, ipotesi che ho dimenticato..
Assodato che tutto ciò che ho scritto vale se $I$ è un intervallo, cosa succede se $f$ è definita su un insieme $A$ qualunque? Ci sono dei casi in cui si può parlare di primitiva oppure no?
Risposte
\(\mathbb{R}\) è un intervallo.
Ricordo la definizione:
In particolare, lo stesso insieme \([a,b]\) è un intervallo, che viene chiamato intervallo chiuso d'estremi \(a\) e \(b\); inoltre sono intervalli anche gli insiemi:
\[
\begin{split}
]a,b[ &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a< x< b\}\\
[a,b[ &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x< b\}\\
]a,b] &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a< x\leq b\}
\end{split}
\]
detti rispettivamente intervallo aperto, intervallo semiaperto superiormente ed intervallo semiaperto inferiormente di estremi \(a\) e \(b\).
Sono intervalli i singleton \(\{ a\}\), i quali sono detti intervalli degeneri.
Sono intervalli le semirette:
\[
\begin{split}
]a,\infty[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a< x\} \\
[a,\infty[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x\} \\
]-\infty, b] &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ x\leq b\} \\
]-\infty ,b[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ x< b\}\; .
\end{split}
\]
Sono intervalli gli insiemi che si ottengono come unione di intervalli aventi a due a due almeno un punto in comune.
Ricordo la definizione:
Un insieme \(I\subseteq \mathbb{R}\) è un intervallo se esso è non vuoto e se:
\[
\forall a\leq b\in I,\quad [a,b]\subseteq I\; ,
\]
ove \([a,b]:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x\leq b\}\).
In particolare, lo stesso insieme \([a,b]\) è un intervallo, che viene chiamato intervallo chiuso d'estremi \(a\) e \(b\); inoltre sono intervalli anche gli insiemi:
\[
\begin{split}
]a,b[ &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a< x< b\}\\
[a,b[ &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x< b\}\\
]a,b] &:=\{ x\in \mathbb{R}:\ a< x\leq b\}
\end{split}
\]
detti rispettivamente intervallo aperto, intervallo semiaperto superiormente ed intervallo semiaperto inferiormente di estremi \(a\) e \(b\).
Sono intervalli i singleton \(\{ a\}\), i quali sono detti intervalli degeneri.
Sono intervalli le semirette:
\[
\begin{split}
]a,\infty[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a< x\} \\
[a,\infty[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x\} \\
]-\infty, b] &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ x\leq b\} \\
]-\infty ,b[ &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ x< b\}\; .
\end{split}
\]
Sono intervalli gli insiemi che si ottengono come unione di intervalli aventi a due a due almeno un punto in comune.
Ti ringrazio Gugo,le tue risposte sono come sempre molto esaurienti.
in effetti.. mi sono accorto qualche minuto dopo di aver preso un granchio; però una questione mi genera ancora curiosità .
Abbiamo assodato che se $f : I -> RR$ è definita su un intervallo ed è continua allora ammette primitiva.
La mia domanda è :
Se $f$ non è definita su di un intervallo ed è continua, ci sono dei casi in cui $f$ ammetta primitiva?
in effetti.. mi sono accorto qualche minuto dopo di aver preso un granchio; però una questione mi genera ancora curiosità .
Abbiamo assodato che se $f : I -> RR$ è definita su un intervallo ed è continua allora ammette primitiva.
La mia domanda è :
Se $f$ non è definita su di un intervallo ed è continua, ci sono dei casi in cui $f$ ammetta primitiva?
Mmmm... La domanda è sensata e la risposta non è semplice.
Mettiamola così: dato che tu hai definito il concetto di primitiva limitatamente a funzioni che siano definite su intervalli, la risposta è NO.
Tuttavia questa, che può sembrare una scappatoia formale, ha sotto una motivazione interessante.
Il motivo principale per cui definisci le primitive solo sugli intervalli è che vuoi che valga il teorema di unicità a meno di costanti additive, i.e.:
Non appena l'insieme \(I\) su cui operi non è più un intervallo, questo teorema non vale più (perché non vale più il teorema di Lagrange da cui esso discende). Ad esempio, le funzioni:
\[
F(x) := \begin{cases} 1 &\text{, se } 0
sarebbero entrambe primitive di \(f(x):=0\) su \(I:=]1,2[\cup ]2,3[\), e però non esiste nessuna costante tale che \(G(x)=F(x)+c\) identicamente in \(]1,2[\cup ]2,3[\).
Quindi, se vuoi evitare questo stallo, ti tocca definire le primitive solo sugli intervalli.
Mettiamola così: dato che tu hai definito il concetto di primitiva limitatamente a funzioni che siano definite su intervalli, la risposta è NO.
Tuttavia questa, che può sembrare una scappatoia formale, ha sotto una motivazione interessante.
Il motivo principale per cui definisci le primitive solo sugli intervalli è che vuoi che valga il teorema di unicità a meno di costanti additive, i.e.:
Se \(F,G:I\to \mathbb{R}\) sono primitive della stessa funzione allora \(G(x)=F(x)+c\) identicamente (per un'opportuna costante $c\in RR$).
Non appena l'insieme \(I\) su cui operi non è più un intervallo, questo teorema non vale più (perché non vale più il teorema di Lagrange da cui esso discende). Ad esempio, le funzioni:
\[
F(x) := \begin{cases} 1 &\text{, se } 0
sarebbero entrambe primitive di \(f(x):=0\) su \(I:=]1,2[\cup ]2,3[\), e però non esiste nessuna costante tale che \(G(x)=F(x)+c\) identicamente in \(]1,2[\cup ]2,3[\).
Quindi, se vuoi evitare questo stallo, ti tocca definire le primitive solo sugli intervalli.
grazie mille gugo e scusa il ritardo per la risposta, sei stato molto chiaro.
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