Primitive per $\int e^{x+cos(\pi x)}dx$
Salve a tutti e buona Pasqua, innanzi tutto 
Ho dato un esame di analisi settimana scorsa e c'era questo esercizio:
$\int e^{x+cos(\pi x)}dx$
Ora, ho provato a risolverlo per parti (prendendo $e^x$ come termine piu' facile da integrare, e derivando $e^\cos(\pi x)$), ma non riesco a schiodarmi da questa situazione.
Magari facendo sparire gli esponenziali in qualche modo... per sostituzione? Non so proprio come cavarmela
Voi come fareste?
Grazie
Ho dato un esame di analisi settimana scorsa e c'era questo esercizio:
$\int e^{x+cos(\pi x)}dx$
Ora, ho provato a risolverlo per parti (prendendo $e^x$ come termine piu' facile da integrare, e derivando $e^\cos(\pi x)$), ma non riesco a schiodarmi da questa situazione.
Magari facendo sparire gli esponenziali in qualche modo... per sostituzione? Non so proprio come cavarmela
Voi come fareste?
Grazie
Risposte
Controdomanda: è esattamente questo il testo dell'esercizio? Ovvero era proprio da calcolare una primitiva di quella funzione?
Si, ho appena guardato i fogli di brutta che usai all'esame ed e' proprio questo.
Non ricordo se era una primitiva o tutte, comunque mi interessava l'integrale indefinito (quindi tutte).
Grazie
Non ricordo se era una primitiva o tutte, comunque mi interessava l'integrale indefinito (quindi tutte).
Grazie
Al momento non ho nessuna idea; non sono però convinto del tutto che il testo originale del tuo problema sia quello. E' un esercizio di Analisi 1?
Si, analisi 1.
Comunque, se ho sbagliato, l'unica possibilita' e' di aver messo x + cos anziche' x - cos, ma sugli appunti avevo scritto x-cos e l'ho cancellato correggendolo con un +.
Comunque, se ho sbagliato, l'unica possibilita' e' di aver messo x + cos anziche' x - cos, ma sugli appunti avevo scritto x-cos e l'ho cancellato correggendolo con un +.
Non ho idea di come si possa calcolare, ma ti posso dire che non ci riesce neanche Mathematica, il che dovrebbe far sorgere qualche serio dubbio riguardo la correttezza del testo dell'esercizio.
Anche il Derive sembra confermare quanto scritto da Eredir. Probabilmente c'è un errore nel testo del problema.
Uhm, bhe ma non e' che una funzione come questa puo' essere "sbagliata" da calcolare... No?
Guardando al volo wikipedia (non fidandomi dei miei ricordi
) una condizione sufficiente per integrare e' che la funzione sia continua: questa e' continua. Quindi e' integrabile.
Non e' che va risolta in qualche altro modo oltre al "classico" di antiderivare? Con delle somme di Riemann, magari? Io non lo so proprio, per questo chiedevo a voi.
Mi spiace non essermi segnato l'esercizio, perche' se non esiste nessun modo per calcolarlo allora devo aver frainteso proprio l'esercizio, ma sulla correttezza della funzione ho davvero pochi dubbi.
Grazie ancora a tutti.
Guardando al volo wikipedia (non fidandomi dei miei ricordi
) una condizione sufficiente per integrare e' che la funzione sia continua: questa e' continua. Quindi e' integrabile.Non e' che va risolta in qualche altro modo oltre al "classico" di antiderivare? Con delle somme di Riemann, magari? Io non lo so proprio, per questo chiedevo a voi.
Mi spiace non essermi segnato l'esercizio, perche' se non esiste nessun modo per calcolarlo allora devo aver frainteso proprio l'esercizio, ma sulla correttezza della funzione ho davvero pochi dubbi.
Grazie ancora a tutti.
Guardando al volo wikipedia (non fidandomi dei miei ricordi Very Happy) una condizione sufficiente per integrare e' che la funzione sia continua: questa e' continua. Quindi e' integrabile.
Giusto. Pero' il fatto che la primitiva esista non significa che questa sia calcolabile in termini di funzioni elementari.
Io sospetto che il $\cos(\pi x)$ fosse a moltiplicare l'esponenziale (e non a esponente)
Uhm sul cos a moltiplicare ho davvero dubbi, perche' quelli con l'altra versione del compito avevano il - anziche' il +, ma sempre all'esponente. Mi ricordo che un mio amico me lo disse a voce, ergo e' improbabile che me lo sia segnato sbagliato E ricordato sbagliato.
Riguardo al metodo di calcolo... Eh appunto, pero' se c'era questo esercizio in qualche modo dovrei saperlo calcolare. L'unico modo che mi viene in mente, oltre a questo di integrazione diretta con le regoline, e' di trovare il modo di fare le somme di aree, calcolando il limite a zero.
Magari con $F(x) = \int_{x_0}^x f(t) dt$... Ma detto per inciso, sicuramente dovevamo trovare almeno una funzione primitiva, visto che col risultato di questo integrale avrei dovuto fare l'esercizio successivo. Quindi non poteva essere un banale calcolo di area.
Riguardo al metodo di calcolo... Eh appunto, pero' se c'era questo esercizio in qualche modo dovrei saperlo calcolare. L'unico modo che mi viene in mente, oltre a questo di integrazione diretta con le regoline, e' di trovare il modo di fare le somme di aree, calcolando il limite a zero.
Magari con $F(x) = \int_{x_0}^x f(t) dt$... Ma detto per inciso, sicuramente dovevamo trovare almeno una funzione primitiva, visto che col risultato di questo integrale avrei dovuto fare l'esercizio successivo. Quindi non poteva essere un banale calcolo di area.
La cosa migliore che puoi fare è postare il testo dell'esercizio esattamente come è stato dato; può anche essere (anzi ne sono quasi certo) che l'esercizio non si risolva calcolando esattamente l'integrale, ma che la cosa si aggiri in modo furbo.
Se invece l'esercizio originale è proprio calcolare una primitiva, allora non ho nessuna idea, ma mi sembra strano dare un esercizio del genere ad uno scritto di Analisi 1....
Se invece l'esercizio originale è proprio calcolare una primitiva, allora non ho nessuna idea, ma mi sembra strano dare un esercizio del genere ad uno scritto di Analisi 1....
Ok, se riesco ad impossessarmene vi faccio sapere Intanto grazie per la pazienza.
Intanto grazie per la pazienza.
Bene, cioe' male
Ieri ho fatto l'orale di analisi e mi han bocciato. Poco male, avro' modo di studiare meglio.
In ogni caso, mi ha chiesto proprio questo esercizio, visto che nello scritto non sono stato in grado di farlo, quindi ora ho capito cosa bisognava fare e si, il testo dell'esercizio e' completamente diverso da quello che vi ho riportato.
Inoltre non avevo mai letto quel paragrafetto di 5 righe in fondo al libro che spiegava questo problema, quindi ero totalmente ignorante a riguardo tanto che la prof all'orale mi ha detto esplicitamente: "sappiamo bene che questa e' una funzione che ricade nella classe di funzioni continue (e quindi integrabili), ma che non sappiamo integrare".
L'esercizio chiedeva di farlo tramite serie di Taylor con centro in $x_0 = 1$ arrestata al secondo ordine con resto di Peano.
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
E si risolve applicando qualche proprieta' degli integrali definiti, il teorema fondamentale del calcolo intregrale etc (fin qui ci sono arrivato, poi la prof, all'orale, mi ha chiesto la dimostrazione e li e' cascato l'asino).
Fondamentalmente ero totalmente ignorante a riguardo, quindi l'esercizio non l'avrei potuto capire quel giorno... Quindi mi scuso per aver postato un problema assurdo qui sul forum, soprattutto avendo stravolto l'esercizio.
Ora la cosa e' abbastanza chiara, vedro' di approfondire dopo l'esame di fisica.
Grazie a tutti
Ieri ho fatto l'orale di analisi e mi han bocciato. Poco male, avro' modo di studiare meglio.
In ogni caso, mi ha chiesto proprio questo esercizio, visto che nello scritto non sono stato in grado di farlo, quindi ora ho capito cosa bisognava fare e si, il testo dell'esercizio e' completamente diverso da quello che vi ho riportato.
Inoltre non avevo mai letto quel paragrafetto di 5 righe in fondo al libro che spiegava questo problema, quindi ero totalmente ignorante a riguardo tanto che la prof all'orale mi ha detto esplicitamente: "sappiamo bene che questa e' una funzione che ricade nella classe di funzioni continue (e quindi integrabili), ma che non sappiamo integrare".
L'esercizio chiedeva di farlo tramite serie di Taylor con centro in $x_0 = 1$ arrestata al secondo ordine con resto di Peano.
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
E si risolve applicando qualche proprieta' degli integrali definiti, il teorema fondamentale del calcolo intregrale etc (fin qui ci sono arrivato, poi la prof, all'orale, mi ha chiesto la dimostrazione e li e' cascato l'asino).
Fondamentalmente ero totalmente ignorante a riguardo, quindi l'esercizio non l'avrei potuto capire quel giorno... Quindi mi scuso per aver postato un problema assurdo qui sul forum, soprattutto avendo stravolto l'esercizio.
Ora la cosa e' abbastanza chiara, vedro' di approfondire dopo l'esame di fisica.
Grazie a tutti
Mi spiace per il tuo esame andato male, capita a tutti. Aspettiamo allora una tua proposta di soluzione quando avrai tempo.
Non c'e' da dispiacersi, vuol dire che mi impegnero' e la prossima volta prendero' un bel voto Sbagliando si impara!
Comunque all'orale ho fatto sostanzialmente questo:
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
Poiche' F(X) e' la funzione integrale (e quindi e' la primitiva di quell'integrale) e poiche' $f(x) = e^{x + cos(\pi x)}$ e' continua su tutto il dominio, sappiamo per il teorema fondamentale del calcolo integrale che
$F'(x) = f(x)$
Visto che l'esercizio chiedeva di scrivere la funzione mediante serie di taylor di secondo ordine e con centro in $c = 1$, allora sviluppandolo abbiamo che:
$F(x) = F(c) + F'(c)(x - c) + \frac{F''(c)}{2}(x - c)^2 + o((x - c)^2)$
e qui possiamo calcolare:
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
$F'(x) = f(x) = e^{x + cos(\pi x)}$
$F''(x) = \frac{d}{dx}e^{x + cos(\pi x)} = e^{x + cos(\pi x)} (1 - \pi sin(\pi x))$
$F(1) = 0$, poiche' l'integrale definito $\int_a^a dx$ e' nullo
$F'(1) = e^0 = 1$
$F''(1) = e^{1 + cos(\pi)} (1 - \pi sin(\pi)) = e^0 (1 - 0) = 1$
quindi (sperando di non aver fatto errori)
$F(x) = 0 + (x - 1) + 1/2(x - 1)^2 + o((x - 1)^2) = (x^2)/2 - 1/2 + o((x - 1)^2)$
Che dite?
Ora il problema e' capire come fare la dimostrazione del polinomio di taylor. Poi vedro'
Buona serata
Sbagliando si impara!Comunque all'orale ho fatto sostanzialmente questo:
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
Poiche' F(X) e' la funzione integrale (e quindi e' la primitiva di quell'integrale) e poiche' $f(x) = e^{x + cos(\pi x)}$ e' continua su tutto il dominio, sappiamo per il teorema fondamentale del calcolo integrale che
$F'(x) = f(x)$
Visto che l'esercizio chiedeva di scrivere la funzione mediante serie di taylor di secondo ordine e con centro in $c = 1$, allora sviluppandolo abbiamo che:
$F(x) = F(c) + F'(c)(x - c) + \frac{F''(c)}{2}(x - c)^2 + o((x - c)^2)$
e qui possiamo calcolare:
$F(x) = \int_1^x e^{t + cos(\pi t)} dt$
$F'(x) = f(x) = e^{x + cos(\pi x)}$
$F''(x) = \frac{d}{dx}e^{x + cos(\pi x)} = e^{x + cos(\pi x)} (1 - \pi sin(\pi x))$
$F(1) = 0$, poiche' l'integrale definito $\int_a^a dx$ e' nullo
$F'(1) = e^0 = 1$
$F''(1) = e^{1 + cos(\pi)} (1 - \pi sin(\pi)) = e^0 (1 - 0) = 1$
quindi (sperando di non aver fatto errori)
$F(x) = 0 + (x - 1) + 1/2(x - 1)^2 + o((x - 1)^2) = (x^2)/2 - 1/2 + o((x - 1)^2)$
Che dite?
Ora il problema e' capire come fare la dimostrazione del polinomio di taylor. Poi vedro'
Buona serata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo