Primitive non derivabili
Ho dei dubbi riguardante le primitive di funzioni...
Nella definizione che mi è stata data di primitiva questa deve risultare derivabile nell'intervallo in cui la definisco...
1) Una funzione del tipo $ f(x)=|x| $ non potrà mai essere primitiva ti una funzione? (Eppure $ f'(x)=g(x)={ ( 1 ),( -1 ):}{: ( x>=0 ),( x<0 ) :} $, quindi $ f(x) $ è primitiva di $ g(x) $ )
2) Funzioni con discontinuità di prima e terza specie non posso avere primitiva...?
3) $ F(x)=int_a^xf(t)dt $ è primitiva di $ f(x) $ solo se $ f(x) $ è continua? (Tutto in un intervallo chiuso)
Spero qualcuno possa chiarirmi queste perplessità...
Nella definizione che mi è stata data di primitiva questa deve risultare derivabile nell'intervallo in cui la definisco...
1) Una funzione del tipo $ f(x)=|x| $ non potrà mai essere primitiva ti una funzione? (Eppure $ f'(x)=g(x)={ ( 1 ),( -1 ):}{: ( x>=0 ),( x<0 ) :} $, quindi $ f(x) $ è primitiva di $ g(x) $ )
2) Funzioni con discontinuità di prima e terza specie non posso avere primitiva...?
3) $ F(x)=int_a^xf(t)dt $ è primitiva di $ f(x) $ solo se $ f(x) $ è continua? (Tutto in un intervallo chiuso)
Spero qualcuno possa chiarirmi queste perplessità...
Risposte
la definizione di primitiva è
Sia $f:[a;b]\to\mathbb{R}$ una funzione; la funzione $F:[a;b]\to\mathbb{R}$ si dice primitiva di $f$ se, per ogni $x\in[a;b],$ si ha $F'(x)=f(x).$
Sia $f:[a;b]\to\mathbb{R}$ una funzione; la funzione $F:[a;b]\to\mathbb{R}$ si dice primitiva di $f$ se, per ogni $x\in[a;b],$ si ha $F'(x)=f(x).$
Proprio per il fatto che $ F'(x)=f(x)AA x in[a,b] $ deve essere derivabile in $ [a,b] $ , e da questo deriva il punto 3) e tutti gli altri problemi...
valgono le seguneti proprietà:
[*:vz6bklam]$f:(a,b)\to\mathbb{R},$ con $f$ continua $\Rightarrow f$ ha primitiva in $(a;b)$[/*:m:vz6bklam]
[*:vz6bklam]$f:(a,b)\to\mathbb{R},$ e $f$ ha un punto di discontinuità a "salto" in $(a;b),$ $\Rightarrow f$ non ha primitiva in $(a;b).$[/*:m:vz6bklam][/list:u:vz6bklam]
Ovviamente, ogni funzione non derivabile non può essere una primitiva di alcuna funzione.
"Pierlu11":
1) Una funzione del tipo $ f(x)=|x| $ non potrà mai essere primitiva ti una funzione?
Direi di no (ovviamente nel caso di intervalli che contengono 0). Infatti $f(x) $ non è derivabile in $ x_0=0 $ e non può soddisfare la definizione di primitiva che richiede $ f'(x)=g(x) \forall x $ nell'intervallo.
"Pierlu11":
(Eppure $ f'(x)=g(x)={ ( 1 ),( -1 ):}{: ( x>=0 ),( x<0 ) :} $, quindi $ f(x) $ è primitiva di $ g(x) $ )
Non è vero che $ f'(0)=1 $, perchè $ f $ non è derivabile in 0. Inoltre $ g $ non può essere la derivata di una funzione perchè non gode della proprietà dei valori intermedi e quindi contraddice il teorema di Darboux.
In pratica funzioni definite in un intervallo ma non continue (con discontinuità non di seconda specie) non hanno primitiva perché hanno un "punto di troppo" nel quale non dovrebbero essere definite... posso dire però che, ad esempio, $ F(x)=|x| $ è una primitiva di $ f(x)={ ( 1 ),( -1 ):}{: ( x>0 ),( x<0 ) :} $ in $ RR\\ {0} $ (anche se non è un intervallo)?
In generale una funzione discontinua non è detto che ammetta primitiva, la cui esistenza per le funzioni continue è assicurata dal teorema fondamentale del calcolo integrale. Però esistono funzioni discontinue ne ammettono, tra cui diverse funzioni con discontinuità di terza specie. Un esempio è $ f(x)=2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) $ che è discontinua in $ x_0=0 $ e ha come primitiva la funzione $ F(x)= x^2 \ sin(\frac{1}{x}) $ con $ F(0)=0 $. Credo invece che le funzioni con discontinuità di prima specie non possano avere primitiva in un intervallo contenente il punto di discontinuità perchè vi sarebbe un intorno di tale punto che non verifica il teorema di Darboux. Per quanto riguarda l'ultima domanda direi che puoi tranquillamente invece. E se hai bisogno di altre informazioni ti consiglio http://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
"Pierlu11":
Ho dei dubbi riguardante le primitive di funzioni...
Nella definizione che mi è stata data di primitiva questa deve risultare derivabile nell'intervallo in cui la definisco...
Diciamolo bene:
Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(f,F:I\to \mathbb{R}\).
Si dice che \(F\) è una primitiva di \(f\) in \(I\) se sono soddisfatte le seguenti due proprietà:
[*:z7bkqqqa] \(F\) è derivabile in tutto \(I\);
[/*:m:z7bkqqqa]
[*:z7bkqqqa] \(F^\prime (x)=f(x)\) per ogni \(x\in I\).[/*:m:z7bkqqqa][/list:u:z7bkqqqa]
Quindi la definizione di primitiva lega tre oggetti: un intervallo e due funzioni, una delle quali (la candidata ad essere "primitiva") derivabile ovunque.
"Pierlu11":
1) Una funzione del tipo $ f(x)=|x| $ non potrà mai essere primitiva ti una funzione? (Eppure $ f'(x)=g(x)={ ( 1 ),( -1 ):}{: ( x>=0 ),( x<0 ) :} $, quindi $ f(x) $ è primitiva di $ g(x) $ )
La funzione \(F(x):=|x|\) è definita in un intervallo, cioè \(I=\mathbb{R}\), ma non è derivabile ovunque in \(I\), poiché essa non è derivabile in \(0\) (il limite del rapporto incrementale non esiste).
Quindi \(F\) non è primitiva di alcunché.
"Pierlu11":
2) Funzioni con discontinuità di prima e terza specie non posso avere primitiva...?
Funzioni \(f\) con discontinuità a salto (cioé di prima specie) non possono essere derivate di alcunché per la già mensionata proprietà di Darboux.
D'altra parte, sulle funzioni con discontinuità di terza specie, non si può dire nulla.
In generale, una delle proprietà forti delle funzioni \(f\) dotate di primitiva (quindi di quelle funzioni che possono essere considerate come derivate di funzioni derivabili) è quella espressa dal teorema di Darboux:
Sia \(f:I\to \mathbb{R}\).
Se \(f\) è dotata di primitiva (cioé se essa è la derivata di una funzione derivabile) allora, comunque si fissi un intervallo \([a,b]\subseteq I\), la \(f\) assume tutti i valori compresi tra \(\min_{[a,b]} f\) e \(\max_{[a,b]} f\).
Tale proprietà è detta proprietà dei valori intermedi.
"Pierlu11":
3) $ F(x)=int_a^xf(t)dt $ è primitiva di $ f(x) $ solo se $ f(x) $ è continua? (Tutto in un intervallo chiuso)
No.
Se \(f\) è continua, \(F\) è certamente una sua primitiva.
Ma se \(f\) non è continua, non puoi dire nulla in generale... Ad esempio, la funzione \(F(x):=\int_0^x f(t)\text{d} t\), ove \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è definita ponendo:
\[
f(x):= \begin{cases} 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
(e perciò è dotata di discontinuità di terza specie in \(0\)), si può esprimere esplicitamente come:
\[
F(x)=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0\; ;
\end{cases}
\]
tale \(F\) è continua in \(\mathbb{R}\), è derivabile dappertutto (incluso in \(0\)) e la sua derivata prima coincide con \(f\); perciò \(F\) è una primitiva di \(f\), nonostante \(f\) sia discontinua.
Perfetto!... grazie mille... mi rimane un ultimo dubbio sul punto 3) :
Il teorema fondamentale mi dice che se $ f $ è continua $ int_a^xf(t)dt $ è derivabile ed è una primitiva, ma non mi garantisce che $ int_a^xf(t)dt $ è una primitiva anche per le funzioni non continue che la ammettono... si può "aggiungere" che se $ f $ ammette primitiva nell'intervallo $ int_a^xf(t)dt $ è una di quelle...?
Il teorema fondamentale mi dice che se $ f $ è continua $ int_a^xf(t)dt $ è derivabile ed è una primitiva, ma non mi garantisce che $ int_a^xf(t)dt $ è una primitiva anche per le funzioni non continue che la ammettono... si può "aggiungere" che se $ f $ ammette primitiva nell'intervallo $ int_a^xf(t)dt $ è una di quelle...?
"Pierlu11":
Perfetto!... grazie mille... mi rimane un ultimo dubbio sul punto 3) :
Il teorema fondamentale mi dice che se $ f $ è continua $ int_a^xf(t)dt $ è derivabile ed è una primitiva, ma non mi garantisce che $ int_a^xf(t)dt $ è una primitiva anche per le funzioni non continue che la ammettono... si può "aggiungere" che se $ f $ ammette primitiva nell'intervallo $ int_a^xf(t)dt $ è una di quelle...?
Credo che non sia così semplice... Ma sinceramente non so che dirti.
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