Primitive di una funzione
Salve a tutti ragazzi sto svolgendo un compito d'esami e mi ritrovo questo integrale :$ $ int (2sqrt(x) -1 )/ sqrt(x) * log(x-sqrt(x)) dx $ $
io ho provato a risolverlo così:
1)ho applicato il metodo di sostituzione: $ sqrt(x)=t rarr x=t^2 rarr dx=2t dt $
ritrovandomi il seguente integrale $int 2t ((2t -1 )/ t )* log(t^2-t) dt $
2)semplifico quindi la t al denominatore con il 2t e poi porto fuori il 2 per la proprietà di omogeneità così ottengo:
$ 2int (2t -1 )* log(t^2-t) dt $
3) applico il secondo principio di sostituzione ossia:
$ int f(g(x))*g'(x) dx rarr (int f(t)dt) _( t=g(x)) $
ottenendo: $ 2(int log(y) dy)_(y=t^2-t) $
4) applico il metodo per parti per trovare la primitiva del log(y) e ho finito avendo come risultato finale:
$ 2(t^2-t)(log(t^2-t) -1) +c $
Volevo chiedervi secondo voi la risoluzione dell'esercizio è corretta??Io credo di si però quando ho la febbre non sono molto lucido e martedì devo andare al ricevimento dal prof e sicuramente vorrà vedere gli esercizi fatti(oltre a quelli che non ho capito!).Ringrazio tutti.Aspetto impaziente le vostre correzioni/consigli!
io ho provato a risolverlo così:
1)ho applicato il metodo di sostituzione: $ sqrt(x)=t rarr x=t^2 rarr dx=2t dt $
ritrovandomi il seguente integrale $int 2t ((2t -1 )/ t )* log(t^2-t) dt $
2)semplifico quindi la t al denominatore con il 2t e poi porto fuori il 2 per la proprietà di omogeneità così ottengo:
$ 2int (2t -1 )* log(t^2-t) dt $
3) applico il secondo principio di sostituzione ossia:
$ int f(g(x))*g'(x) dx rarr (int f(t)dt) _( t=g(x)) $
ottenendo: $ 2(int log(y) dy)_(y=t^2-t) $
4) applico il metodo per parti per trovare la primitiva del log(y) e ho finito avendo come risultato finale:
$ 2(t^2-t)(log(t^2-t) -1) +c $
Volevo chiedervi secondo voi la risoluzione dell'esercizio è corretta??Io credo di si però quando ho la febbre non sono molto lucido e martedì devo andare al ricevimento dal prof e sicuramente vorrà vedere gli esercizi fatti(oltre a quelli che non ho capito!).Ringrazio tutti.Aspetto impaziente le vostre correzioni/consigli!
Risposte
Ovviamente manca la sostituzione [tex]t=\sqrt{x}[/tex] nell'espressione finale. Comunque il risultato è corretto.
Si giusto...ho dimenticato la sostituzione $t=sqrt(x)$ mi fa piacere che sia corretto(vuol dire che gli esercizi che sto facendo stanno cominciando a dare i frutti sperati!!!).Grazie ancora per il tempismo nella risposta.......a presto per il prossimo esercizio!!! 
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