Primitive di forme differenziali.
Salve a tutti, ho un dubbio sulla "legittimità" di questo modo di operare per calcolare le primitive di una forma differenziale in due variabili.
Sia $omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ chiusa, di classe $C^1$ e definita in un aperto e connesso. Ora si sa che esiste una funzione $F(x,y)$ tale che il suo differenziale è $omega$. Per trovarla si può integrare $a(x,y)$ rispetto a $x$, ottenendo così una funzione del tipo $F^*(x,y)=G(x,y)+h(y)$ dove $h(y)$ è una qualsiasi funzione della sola $y$, da determinare. Ora derivando $F^*(x,y)$ rispetto a $y$ e uguagliando il risultato a $b(x,y)$ si trova $h'(y)$ che integrata rispetto a $y$, da definitivamente $h(y)$, e di conseguenza $F(x,y)$ a meno di una costante.
Ciò che vorrei sapere è se questo metodo si può usare indipendentemente dal tipo di connesso in cui $omega$ è definita, oppure si può usare solo se è definita su $RR^2$. Indipendentemente dal connesso il metodo funziona, ma non è che per caso c'è un errore formale nell'integrare indefinitamente? Ad un esame di Analisi si può operare in questo modo?
Grazie a tutti.
Sia $omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ chiusa, di classe $C^1$ e definita in un aperto e connesso. Ora si sa che esiste una funzione $F(x,y)$ tale che il suo differenziale è $omega$. Per trovarla si può integrare $a(x,y)$ rispetto a $x$, ottenendo così una funzione del tipo $F^*(x,y)=G(x,y)+h(y)$ dove $h(y)$ è una qualsiasi funzione della sola $y$, da determinare. Ora derivando $F^*(x,y)$ rispetto a $y$ e uguagliando il risultato a $b(x,y)$ si trova $h'(y)$ che integrata rispetto a $y$, da definitivamente $h(y)$, e di conseguenza $F(x,y)$ a meno di una costante.
Ciò che vorrei sapere è se questo metodo si può usare indipendentemente dal tipo di connesso in cui $omega$ è definita, oppure si può usare solo se è definita su $RR^2$. Indipendentemente dal connesso il metodo funziona, ma non è che per caso c'è un errore formale nell'integrare indefinitamente? Ad un esame di Analisi si può operare in questo modo?
Grazie a tutti.
Risposte
"Akuma":
Sia $omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ chiusa, di classe $C^1$ e definita in un aperto e connesso.
aperto e semplicemente connesso... ti sei scordato la cosa più importante!
"Akuma":
Ora si sa che esiste una funzione $F(x,y)$ tale che il suo differenziale è $omega$. Per trovarla si può integrare $a(x,y)$ rispetto a $x$, ottenendo così una funzione del tipo $F^*(x,y)=G(x,y)+h(y)$ dove $h(y)$ è una qualsiasi funzione della sola $y$, da determinare. Ora derivando $F^*(x,y)$ rispetto a $y$ e uguagliando il risultato a $b(x,y)$ si trova $h'(y)$ che integrata rispetto a $y$, da definitivamente $h(y)$, e di conseguenza $F(x,y)$ a meno di una costante.
Ciò che vorrei sapere è se questo metodo si può usare indipendentemente dal tipo di connesso in cui $omega$ è definita, oppure si può usare solo se è definita su $RR^2$. Indipendentemente dal connesso il metodo funziona, ma non è che per caso c'è un errore formale nell'integrare indefinitamente? Ad un esame di Analisi si può operare in questo modo?
Grazie a tutti.
E' giusto. Anzi è una maniera di dimostrare che non tutte le forme differenziali sono dotate di primitive... prendiamo, che so, $xdx+xdy$. Col metodo tuo, supponiamo che ci sia $F$ primitiva. Allora dovrebbe essere $(delF)/(delx)=x$ quindi $F(x,y)=1+c(y)$. Però se derivi rispetto ad $y$ ottieni $c'(y)=x$. Che non può essere, la dipendenza dalla $x$ doveva sparire. Quindi la forma non può avere primitive, ovvero non è esatta.
Riguardo le altre domande, io credo che si possa procedere così a prescindere dalla connessione dell'insieme di definizione. Però poi devi stare attento alle costanti, è la stessa cosa che succede sugli intervalli reali quando calcoli integrali indefiniti di funzioni continue su "pezzi" sconnessi. Di solito si divide l'insieme di definizione in componenti connesse e si trova una famiglia di primitive per ciascuna (sempre che esistano). E naturalmente se sei in $RR^n$ devi integrare risp. ad una variabile/derivare rispetto all'altra più volte.
grazie per il chiarimento! 
se una forma differenziale è esatta, allora questa è sicuramente chiusa! ma è valido anche il contrario? o meglio, se la derivata rispetto ad $y$ di $a(x, y)$ è diversa dalla derivata rispetto ad $x$ di $b(x, y)$ (quindi la forma differenziale non è chiusa), significa che non è esatta?
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