Primitive di alcune classi di funzioni
Ragazzi ho finito di studiare analisi 1 ma c'è il paragrafo delle primitive di alcune classi di funzioni che mi ha confuso alla grande, sarà per la stanchezza o per non so chè, non ci ho capito niente 
Vorrei che perfavore mi daste qualche spiegazione.
1)Le funzioni del tipo $f(x)=1/(x-x_0)^n$ hanno integrale in dx uguale a $ { ( log(x-x_0) +c ) n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1)) )n>1:} $ ma da dove esce fuori per n>1 il meno? e perchè fanno a derivata solo del denominatore? Io avrei trattato la frazione usando la formula di derivazione di un rapporto.
2)L'integrale indefinito $ int_()^() x/(1+x^2)^ndx $ è uguale a $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx = { ( 1/2log(1+x^2) +c )n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1) +c ))n>1:} $ ma perchè moltiplicano e dividono per 2? dinuovo da dove esce furi la quantità per n>1?
3)L'integrale del tipo $I_n=int_()^()1/(1+x^2)^ndx$ per n=1 ci siamo è uguale ad $arctanx$ ma per n>1 è uguale a $I_n=x/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1))+(2n-3)/(2n-2)I_(n-1)$ ma da dove spunta fuori questa formula? come fanno a trovarla?
Loro fanno un esempio calcolando per n=2 e adoperano l'integrazione per parti, ma io non ce la vedo proprio, non riesco a capire come arrivare a questa formula.
4)A questo punto dicono che a questo tipo di integrali si riconduce un integrale del tipo
$int_()^()1/(ax^2+bx+c)^ndx$ nel caso in cui il dscriminante sia minore di zero così in questo caso il polinomio è irriducibile e a questo punto scrivono questo $int_()^()(4a)^N/((2ax+b)^2-b^2+4ac)^ndx=int_()^()(4a)^n/((2ax+b)^2-delta))^n=(2/sqrt(-delta))^(2n-1)a^(n-1)int_()^()1/(t^2+1)^ndt$ dove sostituiscono 2ax+b con $sqrt(-deltat)$
ma perchè parlano di polinomi non riducibili? da dove escono fuori quel $(4a)^n$ al numeratore e tutti gli altri calcoli che fanno?
5)Ultima cosa dicono che ogni integrale del tipo $int_()^()(ax+b)/(ax^2+bx+c)^ndx$ può essere scomposto usando il teorema di decomposizione di Hermite in $A/(x-x_0)^k$ e $(Bx+C)/(ax^2+bx+c)^n$ e eguagliando, dopo aver fatto qualche calcolo un polinomio con un altro polinomio o somma di polinomi razionali o no in funzione di A B e C fanno un sistema lineare per trovare A,B,C ma con quale criterio costruiscono il sistema per trovare questi tre dati?
Scusate per tutte queste domande, ho cercato di metterle in ordine così che siano più chiare a tutti. Perfavore gradirei delle risposte che mi chiariscono questi dubbi(chiamiamoli così
).
Grazie anticipatamente
Vorrei che perfavore mi daste qualche spiegazione.1)Le funzioni del tipo $f(x)=1/(x-x_0)^n$ hanno integrale in dx uguale a $ { ( log(x-x_0) +c ) n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1)) )n>1:} $ ma da dove esce fuori per n>1 il meno? e perchè fanno a derivata solo del denominatore? Io avrei trattato la frazione usando la formula di derivazione di un rapporto.
2)L'integrale indefinito $ int_()^() x/(1+x^2)^ndx $ è uguale a $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx = { ( 1/2log(1+x^2) +c )n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1) +c ))n>1:} $ ma perchè moltiplicano e dividono per 2? dinuovo da dove esce furi la quantità per n>1?
3)L'integrale del tipo $I_n=int_()^()1/(1+x^2)^ndx$ per n=1 ci siamo è uguale ad $arctanx$ ma per n>1 è uguale a $I_n=x/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1))+(2n-3)/(2n-2)I_(n-1)$ ma da dove spunta fuori questa formula? come fanno a trovarla?
Loro fanno un esempio calcolando per n=2 e adoperano l'integrazione per parti, ma io non ce la vedo proprio, non riesco a capire come arrivare a questa formula.
4)A questo punto dicono che a questo tipo di integrali si riconduce un integrale del tipo
$int_()^()1/(ax^2+bx+c)^ndx$ nel caso in cui il dscriminante sia minore di zero così in questo caso il polinomio è irriducibile e a questo punto scrivono questo $int_()^()(4a)^N/((2ax+b)^2-b^2+4ac)^ndx=int_()^()(4a)^n/((2ax+b)^2-delta))^n=(2/sqrt(-delta))^(2n-1)a^(n-1)int_()^()1/(t^2+1)^ndt$ dove sostituiscono 2ax+b con $sqrt(-deltat)$
ma perchè parlano di polinomi non riducibili? da dove escono fuori quel $(4a)^n$ al numeratore e tutti gli altri calcoli che fanno?
5)Ultima cosa dicono che ogni integrale del tipo $int_()^()(ax+b)/(ax^2+bx+c)^ndx$ può essere scomposto usando il teorema di decomposizione di Hermite in $A/(x-x_0)^k$ e $(Bx+C)/(ax^2+bx+c)^n$ e eguagliando, dopo aver fatto qualche calcolo un polinomio con un altro polinomio o somma di polinomi razionali o no in funzione di A B e C fanno un sistema lineare per trovare A,B,C ma con quale criterio costruiscono il sistema per trovare questi tre dati?
Scusate per tutte queste domande, ho cercato di metterle in ordine così che siano più chiare a tutti. Perfavore gradirei delle risposte che mi chiariscono questi dubbi(chiamiamoli così
).Grazie anticipatamente
Risposte
"AlexlovesUSA":
Ragazzi ho finito di studiare analisi 1 ma c'è il paragrafo delle primitive di alcune classi di funzioni che mi ha confuso alla grande, sarà per la stanchezza o per non so chè, non ci ho capito niente
1)Le funzioni del tipo $f(x)=1/(x-x_0)^n$ hanno integrale in dx uguale a $ { ( log(x-x_0) +c ) n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1)) )n>1:} $ ma da dove esce fuori per n>1 il meno? e perchè fanno a derivata solo del denominatore? Io avrei trattato la frazione usando la formula di derivazione di un rapporto.
Qual è l'integrale di $ f(x) ^n $ ?
Non pensi che la tua funzione si possa ricondurre a $int (x-x_0)^(-n) dx$ ?
"AlexlovesUSA":
2)L'integrale indefinito $ int_()^() x/(1+x^2)^ndx $ è uguale a $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx = { ( 1/2log(1+x^2) +c )n=1,( -1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1) +c ))n>1:} $ ma perchè moltiplicano e dividono per 2? dinuovo da dove esce furi la quantità per n>1?
Mi sà che devi ripassare bene l'integrale indefinito di funzioni composte...Il $2$ esce fuori dalla derivata di $x^2 = 2x$ e quindi devi dividere per $2 $ottenendo $1/2$ fuori.
"AlexlovesUSA":
3)L'integrale del tipo $I_n=int_()^()1/(1+x^2)^ndx$ per n=1 ci siamo è uguale ad $arctanx$ ma per n>1 è uguale a $I_n=x/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1))+(2n-3)/(2n-2)I_(n-1)$ ma da dove spunta fuori questa formula? come fanno a trovarla?
Loro fanno un esempio calcolando per n=2 e adoperano l'integrazione per parti, ma io non ce la vedo proprio, non riesco a capire come arrivare a questa formula.
E' inutile che impari queste formule a memoria...risolvere un integrale(oltre a sapere la teoria) è questione di intuito e logica (secondo me) e non di memoria...Io non ho mai imparato oltre le derivate elementari nulla a memoria...la matematica va capita.
Io quella formula non l'ho mai vista, se proprio ci vuoi una spiegazione se ho tempo ci penso su...
1)Per n=1 ci siamo, per n>1 tu scrivi $(x-x_0)^(-n)$ e ci siamo pure ma l'integrale non viene $((x-x_0)^(-n+1))/(-n+1)$ ? Da dove spunta il 2 al denominatore? Loro fanno la derivata del denominatore, ma l'integrale è l'antiderivata, perchè allora?
2)Ok ci siamo
3)Non imparo niente a memoria, e proprio per questo ho scritto sul forum per avere chiarimenti, perchè non volgio imparare nulla a memoria ma arrivarci da solo, capire come arrivano a quella formula. Si è vero che l'integrale è tutta logica ecc... ma io la prima volta che ho provato a risolverli da solo mi veniva un risultato completamente diverso, poi vado a vedere sul libro e il procedimento è completamente diverso, utilizzano altri teoremi che non ho mai sentito, formule già fatte, per questo voglio vederci chiaro Comunque questo paragrafo è scritto nel programma che mi ha dato il professore quindi significa che devo sapere queste formule, quindi prima capisco come ci arrivano e poi le imparo.
Grazie per le risposte
2)Ok ci siamo
3)Non imparo niente a memoria, e proprio per questo ho scritto sul forum per avere chiarimenti, perchè non volgio imparare nulla a memoria ma arrivarci da solo, capire come arrivano a quella formula. Si è vero che l'integrale è tutta logica ecc... ma io la prima volta che ho provato a risolverli da solo mi veniva un risultato completamente diverso, poi vado a vedere sul libro e il procedimento è completamente diverso, utilizzano altri teoremi che non ho mai sentito, formule già fatte, per questo voglio vederci chiaro
Comunque questo paragrafo è scritto nel programma che mi ha dato il professore quindi significa che devo sapere queste formule, quindi prima capisco come ci arrivano e poi le imparo.Grazie per le risposte
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