Primitive delle funzioni complesse
Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto per la dimostrazione del seguente teorema.
Sia $Omega sube CC$ un aperto connesso e f(z) una funzione definita in tale insieme. Sia F(z) una primitiva di f(z). Allora tutte e sole le primitive sono date dalle funzioni F(z)+k, al variare di k costante arbitraria.
Dimostrazione
Se F(z) è una primitiva di f(z) è ovvio che anche F(z)+k con $k in CC$ sia ancora una primitiva di f(z).
Proviamo che F(z)+k sono le sole primitive di f(z). Sia G(z) una funzione olomorfa in Ω tale che $G^{\prime} (z)=f(z)$ allora $ D[F(z)-G(z) ]=0$.
A questo punto sul mio testo di riferimento vengono fatte le seguenti considerazioni
$grad Re(F(z)-G(z))=0$ e $grad Im(F(z)-G(z))=0$ e per l'ipotesi di connessione $Re(F(z)-G(z))=cost$, $ Im(F(z)-G(z))=cost$. Mi sapreste spiegare come si arriva alla tesi?
volevo chiedere il vostro aiuto per la dimostrazione del seguente teorema.
Sia $Omega sube CC$ un aperto connesso e f(z) una funzione definita in tale insieme. Sia F(z) una primitiva di f(z). Allora tutte e sole le primitive sono date dalle funzioni F(z)+k, al variare di k costante arbitraria.
Dimostrazione
Se F(z) è una primitiva di f(z) è ovvio che anche F(z)+k con $k in CC$ sia ancora una primitiva di f(z).
Proviamo che F(z)+k sono le sole primitive di f(z). Sia G(z) una funzione olomorfa in Ω tale che $G^{\prime} (z)=f(z)$ allora $ D[F(z)-G(z) ]=0$.
A questo punto sul mio testo di riferimento vengono fatte le seguenti considerazioni
$grad Re(F(z)-G(z))=0$ e $grad Im(F(z)-G(z))=0$ e per l'ipotesi di connessione $Re(F(z)-G(z))=cost$, $ Im(F(z)-G(z))=cost$. Mi sapreste spiegare come si arriva alla tesi?
Risposte
Chiediti: come può essere una funzione che ha parte reale costante e parte immaginaria costante?
Costante. Quindi le due funzioni dovrebbero essere uguali a meno di una costante? Ciò che non capisco è come si sfrutti l'ipotesi di connessione e perché si consideri il gradiente di parte reale e di parte immaginaria
Il gradiente di parte reale e immaginaria salta fuori per ricondursi alla forma della funzione complessa come campo vettoriale reale (hai presente? Quando si ricavano le Cauchy-Riemann, per esempio, si fa questo passaggio).
L'ipotesi di connessione è importantissima e pertanto lascio a te capire dove serve (credimi, ti sarà indubbiamente utile pensarci e arrivarci da solo: è una cosa che sai da Analisi I, come corollario di Lagrange).
L'ipotesi di connessione è importantissima e pertanto lascio a te capire dove serve (credimi, ti sarà indubbiamente utile pensarci e arrivarci da solo: è una cosa che sai da Analisi I, come corollario di Lagrange).
L'unico corollario di Lagrange che ricordo è quello per cui una funzione continua e derivabile, con derivata nulla in un intervallo aperto, è costante in tale intervallo. C'è ancora qualcosa che mi sfugge riguardo all'ipotesi di connessione, ma proverò ad arrivarci da solo.
Se non sbaglio dovrebbe essere un caso particolare del seguente teorema:se una funzione f ammette gradiente nullo in tutti i punti di un aperto connesso allora tale funzione è costante nell'insieme dato. Giusto?
Sì, esatto, è proprio quello. Ricorda che in dimensione 1 i connessi sono tutti e soli gli intervalli.
Senza la connessione non puoi concludere che $f$ è costante, ma solo che è costante sulle componenti connesse. Ora ti è tutto chiaro?
Senza la connessione non puoi concludere che $f$ è costante, ma solo che è costante sulle componenti connesse. Ora ti è tutto chiaro?
Ora si. Grazie 
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