Primitiva trovata, ma non torna l' integrale definito

[emaz92]

una volta che ho calcolato la primitiva di un integrale, ho controllato su wolfram, non riesco però a capire perchè non mi viene l' integrale definito fra gli estremi di integrazione . Cioè, il calcolo da fare sarebbe questo: $[2sqrt(2-2cosx)] _{0}^{2pi}$

Ho notato che se la scrivo così: $4[|sen(x/2)|] _{0}^{2pi}$, allora il risultato, che è $8$, mi torna, ma se lascio la primitiva scritta nella prima forma mi risulta $0$. Dove sbaglio?

[emaz92]

la funzione integranda comunque era questa: $int(sqrt(2+2cosx))dx$, da integrare fra $0$ e $pi$

[frab1]

Dovrebbe risultare 8!

[ReDavide]

La prima primitiva che hai scritto non è la primitiva della funzione integranda del secondo post, o meglio lo è solo su $ [0,pi] $ :
$ int_(0)^(2pi) sqrt(2)*sqrt(1+cos(x))dx = 2int_(0)^(2pi) |cos(x/2)|dx = 2{ int_(0)^(pi) cos(x/2)dx - int_(pi)^(2pi) cos(x/2)dx} = 2{[2sin(x/2)]_(0)^(pi)-[2sin(x/2)]_(pi)^(2pi)}=8 $

non vorrei scrivere cavolate dovute all'ora tarda, ma $ 4[|sin(x/2)|]_(0)^(2pi) = 0 $ no?

[emaz92]

"ReDavide":La prima primitiva che hai scritto non è la primitiva della funzione integranda del secondo post, o meglio lo è solo su $ [0,pi] $ :
$ int_(0)^(2pi) sqrt(2)*sqrt(1+cos(x))dx = 2int_(0)^(2pi) |cos(x/2)|dx = 2{ int_(0)^(pi) cos(x/2)dx - int_(pi)^(2pi) cos(x/2)dx} = 2{[2sin(x/2)]_(0)^(pi)-[2sin(x/2)]_(pi)^(2pi)}=8 $

non vorrei scrivere cavolate dovute all'ora tarda, ma $ 4[|sin(x/2)|]_(0)^(2pi) = 0 $ no?

ahhhhh dimmi una cosa davide, è forse perchè l' angolo goniometrico si è dimezzato?

[ReDavide]

in che senso? riguardo alla seconda o alla prima riga?

[francescop21]

"emaz92":la funzione integranda comunque era questa: $int(sqrt(2+2cosx))dx$, da integrare fra $0$ e $pi$

ma sei sicuro che l'intervallo d'integrazione sia $[0,\pi]$ non è piuttosto $[0, 2\pi]$

[ReDavide]

beh ma non cambia molto, in $ [0,pi] $ viene 4, in $[0,2pi] $ viene 8
mi sembra che il problema fosse che lui non capiva come mai dalle primitive che ha scritto nel primo post gli saltasse fuori 0 facendolo in $[0,2pi] $

[emaz92]

"ReDavide":beh ma non cambia molto, in $ [0,pi] $ viene 4, in $[0,2pi] $ viene 8
mi sembra che il problema fosse che lui non capiva come mai dalle primitive che ha scritto nel primo post gli saltasse fuori 0 facendolo in $[0,2pi] $

si esatto, è fra $0$ e $2pi$ comunque, non capisco perchè l'integrale definito non venga se lascio la primitiva sotto radice invece di trasformarla nel modulo

[francescop21]

perché quella sotto radice non è la primitiva

[emaz92]

"francescop21":perché quella sotto radice non è la primitiva

invece se guardi bene su wolphram risulta primitiva

[francescop21]

allora se la primitiva è giusta, derivandola dovresti ottenere la funzione integranda

$2 \sqrt{2-2cosx}=2*(2-2cosx)^{1/2}$

facciamo la derivata

$2*{1/2}*(2-2cosx)^{-1/2}*2*sinx=2*{sinx}/{\sqrt {2-2cosx}}=2*{sinx}/{2-2cosx}*sqrt{2-2cosx} != \sqrt{2+2cosx}$

[emaz92]

"francescop21":allora se la primitiva è giusta, derivandola dovresti ottenere la funzione integranda

$2 \sqrt{2-2cosx}=2*(2-2cosx)^{1/2}$

facciamo la derivata

$2*{1/2}*(2-2cosx)^{-1/2}*2*sinx=2*{sinx}/{\sqrt {2-2cosx}}=2*{sinx}/{2-2cosx}*sqrt{2-2cosx} != \sqrt{2+2cosx}$

scusa francesco, guarda qui: $2*{sinx}/sqrt{2-2cosx}=2[2sen(x/2)cos(x/2)]/[2|sen(x/2)|]=2|cos(x/2)|$, che è esattamente uguale alla funzione di partenza $2(2+2cosx)$, quindi la primitiva è corretta

[francescop21]

"emaz92":
scusa francesco, guarda qui: $2*{sinx}/sqrt{2-2cosx}=2[2sen(x/2)cos(x/2)]/[2|sen(x/2)|]=2|cos(x/2)|$, che è esattamente uguale alla funzione di partenza $2(2+2cosx)$, quindi la primitiva è corretta

ricordando che $|a|=a*sign(a)=a/{sign(a)}$

$2[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2|sin(x/2)|]=2{2*sin(x/2)cos(x/2)}/{2*sin(x/2)*sign[sin (x/2)]}=2*cos(x/2)/{sign[sin (x/2)]} != 2*|cos(x/2)|$

[emaz92]

"francescop21":[quote="emaz92"]
scusa francesco, guarda qui: $2*{sinx}/sqrt{2-2cosx}=2[2sen(x/2)cos(x/2)]/[2|sen(x/2)|]=2|cos(x/2)|$, che è esattamente uguale alla funzione di partenza $2(2+2cosx)$, quindi la primitiva è corretta

ricordando che $|a|=a*sign(a)=a/{sign(a)}$

$2[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2|sin(x/2)|]=2{2*sin(x/2)cos(x/2)}/{2*sin(x/2)*sign[sin (x/2)]}=2*cos(x/2)/{sign[sin (x/2)]} != 2*|cos(x/2)|$[/quote]
non riesco a capire la differenza.....non è giusto quello che ho scritto quindi? ti ringrazio comunque per avermi risposto francesco

Più che altro non capisco perchè wolphram la indichi come primitiva, e poi però fa un altro passaggio che non capisco, dice (riferendosi sempre alla funzione $2*|cos(x/2)|$):"..........which is equivalent for x restricted values to....."e poi mette un' altra funzione simile a quella precedente, ma non capisco come ci arriva

[francescop21]

"emaz92": non riesco a capire la differenza.....non è giusto quello che ho scritto quindi? ti ringrazio comunque per avermi risposto francesco

sì, quella che hai scritto è uguale solo in parte alla primitiva, prova a disegnare il grafico delle 2 funzioni con un grapher o simile

"emaz92": Più che altro non capisco perchè wolphram la indichi come primitiva, e poi però fa un altro passaggio che non capisco, dice (riferendosi sempre alla funzione $2*|cos(x/2)|$):"..........which is equivalent for x restricted values to....."e poi mette un' altra funzione simile a quella precedente, ma non capisco come ci arriva

premetto che non conosco wolphram, può essere che intenda che le due funzioni sono uguali solo in un certo intervallo (cosa che in effetti è)

[emaz92]

"francescop21":[quote="emaz92"] non riesco a capire la differenza.....non è giusto quello che ho scritto quindi? ti ringrazio comunque per avermi risposto francesco

sì, quella che hai scritto è uguale solo in parte alla primitiva, prova a disegnare il grafico delle 2 funzioni con un grapher o simile

"emaz92": Più che altro non capisco perchè wolphram la indichi come primitiva, e poi però fa un altro passaggio che non capisco, dice (riferendosi sempre alla funzione $2*|cos(x/2)|$):"..........which is equivalent for x restricted values to....."e poi mette un' altra funzione simile a quella precedente, ma non capisco come ci arriva

premetto che non conosco wolphram, può essere che intenda che le due funzioni sono uguali solo in un certo intervallo (cosa che in effetti è)[/quote]
ah ok grazie, però strano, perchè se utilizzi il metodo della sostituzione ponendo $2+2cosx=t$, dovrebbe effettivamente venire quel risultato, cioè......è quello che non capisco