Primitiva forma differenziale

[Daddarius1]

Ho la forma differenziale $(1/(x-y) +x -1 )dx$+ $(log(y+1) - 1/(x-y))dy$ e devo trovare la primitiva che si annulla nel punto $(1,0)$. Integro il primo termine e ho $log(x-y) -y + x^2/ 2 -x + c(y)$ che vado a derivare rispetto a y e ottengo $c'(y)=log(y+1)-x + 1$ che vado ad eguagliare al secondo termine delle forma differenziale. Ora ottengo l'espressione per per $c'(y)=log(y+1) - x + 1 $ che integro per ottenere c(y). Risulta $c(y)=ylog(y+1) - y +log(y+1) -xy +y$; segue che la primitiva è uguale a $f=log(x-y)-y+x^2 / 2 - x + ylog(y+1)+ log(y+1) -xy + c$ e infine vado a valutra f in (1,0) ottenendo $c=1/2$ e quindì la primitiva che si annulla è quella scritta in precedenza con la costante trovata. Giusto così?

[Bombi2]

Io mi trovo così:

$ omega = ((1)/(x-y) + x -1 )dx + (log(y+1)-(1)/(x-y))dy = df = (partial f)/(partial x) dx + (partial f)/(partial y) dy $

dunque

$ ((1)/(x-y) + x -1 )=(partial f)/(partial x) $

dunque

$ f = int ((1)/(x-y) + x - 1) dx = int (1)/(x-y) dx + (x^2/2) - x + G(y) $

dunque

$ f = log (x-y) + x^2/2 - x + G(y) $ ;

risulta inoltre che

$ (log(y+1)-(1)/(x-y)) = (partial f)/(partial y) $

dunque

$ (log(y+1)-(1)/(x-y)) = (-1)/(x-y) + G'(y) $

dunque

$ G'(y) = log(1+y) $

risolvo l'integrale per parti e ottengo

$ G(y) = (y+1)log(y+1) - y $

dunque la primitiva è

$ f= log (x-y) + x^2/2 - x + (y+1)log(y+1) - y $ + C

uso la condizione iniziale : $ f(1,0)=0 rArr C = 1/2 $