Primitiva forma differenziale

[sici_90]

salve a tutti
vorrei che deste un'occhiata all'esercizio che sto per proporvi: si tratta di studiare una forma differenziale.
$\omega=x(2/(x^2+y^2-4)+cos(x))dx+y(2/(x^2+y^2-4)+sen(2y))dy$
derivando si vede che la forma differenziale è chiusa; ora devo trovare una primitiva. Ecco come procedo:
$f_x(x,y)=x(2/(x^2+y^2-4)+cos(x))$
da cui: $f(x,y)=\int(x(2/(x^2+y^2-4)+cos(x)) dx = log(x^2+y^2-4)+xsen(x)+cos(x)+g(y)$
dove g(y) è una costante.
ora impongo :
$f_y(x,y)=y(2/(x^2+y^2-4)+sen(2y))$
da cui:
$(2y)/(x^2+y^2-4)+g'(y)=y(2/(x^2+y^2-4)+sen(2y))$
ovvero $g'(y)=-2-(sen(2y))(x^2+y^2-4)$
allora $g(y)=\int-2-(sen(2y))(x^2+y^2-4)dy$
ora vorrei sapere, prima di risolvere questo integrale (che non è per niente banale),se siete d'accordo con i calcoli e il procedimento che ho fatto(una volta svolto l'integrale , per ottenere la primitiva , non mi resta che sostituire g(y)nell'equazione precedente.).
Grazie a tutti!

[sici_90]

Grazie mille.
in aula non abbiamo mai applicato questo procedimento, nonostante ci fossimo imbattuti più in forme differenziali in questa forma.
quindi ho qualche perplessità
allora per verificare che la forma differenziale è chiusa, devo verificare che entrambe sono chiuse?
lo stesso per studiare l'esattezza: per concludere che $\omega$ è esatta , devo verificare che sia $\omega_1$ che $\omega_2$ sono esatte?
Grazie infinite!

[sici_90]

perfetto...
Grazie Mille!