Primitiva di una funzione integrale
Buonasera, continuo a non capire una cosa riguardante le primitive di una funzione integrale.
Sia $f(t)=$ $\{(log(1+t^2)),((1/t^2)e^(1/t)):}$ la prima definite per $t>=0$ e la seconda per $t<0$
e sia $g(x)=$ $\int_1^xf(t)dt$
Devo determinare il dominio di $g(x)$e stabilire se $g(x)$ è una primitiva di $f(t)$.
Intanto, dubbio atroce:
Se in un esercizio mi chiede di stabilire se la funzione ammette primitive devo controllare che non abbia discontinuità a salto, ed in caso affermativo, essa non ammette primitive!
Ma per le funzioni integrali da quel che ho capito è diverso. Io so che la funzione integrale è continua ( per definizione) quindi ammette primitive a priori, quindi anche se la funzione integranda ha discontinuità a salto essa è la primitiva. Mi pare un controsenso.
In questo esercizio $g(x)$ è una primitiva se il limite dell'integranda in 0 piu e meno è uguale? O ammette primitiva se semplicemente converge ad un numero finito da destra o da sinistra?
Sia $f(t)=$ $\{(log(1+t^2)),((1/t^2)e^(1/t)):}$ la prima definite per $t>=0$ e la seconda per $t<0$
e sia $g(x)=$ $\int_1^xf(t)dt$
Devo determinare il dominio di $g(x)$e stabilire se $g(x)$ è una primitiva di $f(t)$.
Intanto, dubbio atroce:
Se in un esercizio mi chiede di stabilire se la funzione ammette primitive devo controllare che non abbia discontinuità a salto, ed in caso affermativo, essa non ammette primitive!
Ma per le funzioni integrali da quel che ho capito è diverso. Io so che la funzione integrale è continua ( per definizione) quindi ammette primitive a priori, quindi anche se la funzione integranda ha discontinuità a salto essa è la primitiva. Mi pare un controsenso.
In questo esercizio $g(x)$ è una primitiva se il limite dell'integranda in 0 piu e meno è uguale? O ammette primitiva se semplicemente converge ad un numero finito da destra o da sinistra?
Risposte
Potrebbe essere che se ha come dominio dei sottointervalli con delle singolarità ed in queste vi si presenta una discontinuità a salto, essa non ammette primitiva in tutto il dominio, ma ammette primitiva nei vari sottointervalli che differisce dalle altre per una costante?
Ed in questo caso non posso neanche raccordare le n costanti relative agli n intervalli.
Oppure se ho una funzione definita a tratti e nel punto di accordo ho una discontinuità a salto, la funzione ammette comunque primitiva nei due sottointervalli continui? E questa differirà lo stesso per una costante?
Ed in questo caso non posso neanche raccordare le n costanti relative agli n intervalli.
Oppure se ho una funzione definita a tratti e nel punto di accordo ho una discontinuità a salto, la funzione ammette comunque primitiva nei due sottointervalli continui? E questa differirà lo stesso per una costante?
Com’è $f$?
Cosa dice il TFCI?
Cosa dice il TFCI?
$f$ nel mio caso è continua anche in 0 quindi ammette primitiva su tutto $RR$ giusto? Il TFCI dice che la funzione integrale è continua e se è continua anche la sua integranda, essa è pure derivabile e $F'(x)=f(x)$
Ma se non è continua la sua derivata, però converge, allora ammette comunque primitiva per ogni sottoinvervallo. Comunque nel mio esercizio, dove l'integranda è definita a tratti, se avessi avuto due valori diversi in zero da sinistra e da destra, allora avrebbe ammesso comunque primitiva, ma questa sarebbe stata diversa in ognuno dei due intervalli e avrebbe differito per una costante.
Invece, nel mio caso, le due primitive sono diverse (perchè le due funzioni sono diverse) ma la costante è la stessa,quindi dovrei, se volessi calcolarla, raccordarle. Sbaglio?
Ma se non è continua la sua derivata, però converge, allora ammette comunque primitiva per ogni sottoinvervallo. Comunque nel mio esercizio, dove l'integranda è definita a tratti, se avessi avuto due valori diversi in zero da sinistra e da destra, allora avrebbe ammesso comunque primitiva, ma questa sarebbe stata diversa in ognuno dei due intervalli e avrebbe differito per una costante.
Invece, nel mio caso, le due primitive sono diverse (perchè le due funzioni sono diverse) ma la costante è la stessa,quindi dovrei, se volessi calcolarla, raccordarle. Sbaglio?
"vivi96":
$f$ nel mio caso è continua anche in 0 quindi ammette primitiva su tutto $RR$ giusto?
Sì.
"vivi96":
Il TFCI dice che la funzione integrale è continua e se è continua anche la sua integranda, essa è pure derivabile e $F'(x)=f(x)$
Ma se non è continua la sua derivata, però converge, allora ammette comunque primitiva per ogni sottoinvervallo. Comunque nel mio esercizio, dove l'integranda è definita a tratti, se avessi avuto due valori diversi in zero da sinistra e da destra, allora avrebbe ammesso comunque primitiva, ma questa sarebbe stata diversa in ognuno dei due intervalli e avrebbe differito per una costante.
Invece, nel mio caso, le due primitive sono diverse (perchè le due funzioni sono diverse) ma la costante è la stessa,quindi dovrei, se volessi calcolarla, raccordarle. Sbaglio?
Non è che sbagli... È che non si capisce cosa tu voglia dire.
Prova con un esempio concreto e più semplice. Ad esempio, $f(x):= |x|$ ha primitiva in $RR$? Qual è la primitiva che si annulla in $1$?
Allora, il modulo di x è continuo in $RR$, ma in 0 ho una cuspide quindi non è derivabile.
In 0 è uguale sia da destra che da sinistra, la primitiva però, nonostante sia continua, differisce per una costante nei sottintervalli $(-infty,0] uu (0,+infty)$ quindi avrò , nel primo intervallo : $x^2/2 + c_1$ e nel $x^2/2 + c_2$ , ma essendo che la derivata è continua mi dovrei scrivere le due costanti una in funzione dell'altra, no?
Però, se non fosse un modulo, ma una funzione a tratti con un salto ( tipo se in 0 valesse, da sinistra $pi/2$ e la destra $-pi/2$ ) la funzione integrale sarebbe continua, ma non derivabile in quel punto. La funzione integrale, che sarebbe la primitiva della mia integranda, però esisterebbe nei due sottointervalli $(-infty,0) uu (0,+ infty)$ ma sarebbe definita con costanti diverse. Non so se sia riuscita a spiegarmi
In 0 è uguale sia da destra che da sinistra, la primitiva però, nonostante sia continua, differisce per una costante nei sottintervalli $(-infty,0] uu (0,+infty)$ quindi avrò , nel primo intervallo : $x^2/2 + c_1$ e nel $x^2/2 + c_2$ , ma essendo che la derivata è continua mi dovrei scrivere le due costanti una in funzione dell'altra, no?
Però, se non fosse un modulo, ma una funzione a tratti con un salto ( tipo se in 0 valesse, da sinistra $pi/2$ e la destra $-pi/2$ ) la funzione integrale sarebbe continua, ma non derivabile in quel punto. La funzione integrale, che sarebbe la primitiva della mia integranda, però esisterebbe nei due sottointervalli $(-infty,0) uu (0,+ infty)$ ma sarebbe definita con costanti diverse. Non so se sia riuscita a spiegarmi
Cos'è una primitiva?
E poi, maltratta la Matematica, ma almeno la grammatica lasciala in pace...
E poi, maltratta la Matematica, ma almeno la grammatica lasciala in pace...
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