Primitiva di una forma differenziale esatta
Come da titolo non ho le idee molto chiare sulle forme differenziali...vorrei capire come si procede per trovare la primitiva di una forma differenziale esatta...grazie in anticipo!!!
Risposte
Io i consigli contenuti in quell' avviso li ho letti ed ho sempre rispettato attentamente tutti i consigli e suggerimenti dati su questo forum per agevolare il lavoro dei moderatori. Il fatto è che nel caso in questione io non ho un esercizio preciso da proporre.
Mi servirebbe proprio come schema mentale una sorta di metodo quanto più generico per trovare le primitive di forme differenziali esatte.
Perciò la domanda è quella....non so se posso avere una risposta ma lo spero
.
Se può essere d' aiuto provo a dire cosa so avendo letto alcuni esercizi svolti:
sia $w(x,y)= a(x,y) dx + b(x,y) dy$
risolvo questo integrale $int(b dy)$ che da come risultato $B(x,y) + c(x)$
e pongo $(dB(x,y))/(dx) + c'(x)= a(x,y)$
poi trovo la costante ecc ecc...
ok...dall' esercizio svolto ho appreso questa tecnica...ma perchè si fa così se è giusto??
Mi servirebbe proprio come schema mentale una sorta di metodo quanto più generico per trovare le primitive di forme differenziali esatte.
Perciò la domanda è quella....non so se posso avere una risposta ma lo spero
.Se può essere d' aiuto provo a dire cosa so avendo letto alcuni esercizi svolti:
sia $w(x,y)= a(x,y) dx + b(x,y) dy$
risolvo questo integrale $int(b dy)$ che da come risultato $B(x,y) + c(x)$
e pongo $(dB(x,y))/(dx) + c'(x)= a(x,y)$
poi trovo la costante ecc ecc...
ok...dall' esercizio svolto ho appreso questa tecnica...ma perchè si fa così se è giusto??
Perchè l'intento è determinare una funzione [tex]$U(x,y)$[/tex] tale che [tex]$U_x=a$[/tex] ed [tex]$U_y=b$[/tex] (definizione di primitiva).
Allora è chiaro che se una tale [tex]$U$[/tex] esiste (e ci sono teoremi di esattezza che forniscono condizioni sufficienti) si ha:
[tex]$U(x,y)=\int a(x,y)\ \text{d} x +c(y) =A(x,y)+c(y)$[/tex] (se parti integrando la relazione [tex]$U_x=a$[/tex])
[tex]$U(x,y)=\int b(x,y)\ \text{d} y +d(x) =B(x,y)+d(x)$[/tex] (se parti integrando [tex]$U_y=b$[/tex])
(chiaramente è un abuso di notazione; gli integrali sono indefiniti e fatti rispetto ad una delle variabili tenendo l'altra come parametro); quindi rimane il problema di trovare [tex]$c(y)$[/tex] o [tex]$d(x)$[/tex]. Ma tali funzioni si determinano sfruttando la relazione che non si è integrata: ad esempio, supponiamo di aver scritto:
[tex]$U(x,y)=B(x,y)+d(x)$[/tex];
derivando rispetto ad [tex]$x$[/tex] si trova:
[tex]$U_x=B_x+d^\prime$[/tex]
che è un'equazione differenziale del primo ordine in [tex]$d$[/tex], il cui integrale generale, sommato a [tex]$B$[/tex], fornisce la totalità delle primitive della forma differenziale.
Allora è chiaro che se una tale [tex]$U$[/tex] esiste (e ci sono teoremi di esattezza che forniscono condizioni sufficienti) si ha:
[tex]$U(x,y)=\int a(x,y)\ \text{d} x +c(y) =A(x,y)+c(y)$[/tex] (se parti integrando la relazione [tex]$U_x=a$[/tex])
[tex]$U(x,y)=\int b(x,y)\ \text{d} y +d(x) =B(x,y)+d(x)$[/tex] (se parti integrando [tex]$U_y=b$[/tex])
(chiaramente è un abuso di notazione; gli integrali sono indefiniti e fatti rispetto ad una delle variabili tenendo l'altra come parametro); quindi rimane il problema di trovare [tex]$c(y)$[/tex] o [tex]$d(x)$[/tex]. Ma tali funzioni si determinano sfruttando la relazione che non si è integrata: ad esempio, supponiamo di aver scritto:
[tex]$U(x,y)=B(x,y)+d(x)$[/tex];
derivando rispetto ad [tex]$x$[/tex] si trova:
[tex]$U_x=B_x+d^\prime$[/tex]
che è un'equazione differenziale del primo ordine in [tex]$d$[/tex], il cui integrale generale, sommato a [tex]$B$[/tex], fornisce la totalità delle primitive della forma differenziale.
Grazie infinite...sei stato chiarissimo!!!!
Ragazzi scusate voglio trovare la generica primitiva di questa forma differenziale...potreste aiutarmi...nn ho ben chiaro il modo di procedere...magari con questo esempio riuscirei a capirlo meglio...
$ w = int_()^() sin(2x+4y)/(1+cos^2(x+2y)) dx + int_()^() (2*sin (2x+4y))/(1+cos^2(x+2y)) dy $
$ w = int_()^() sin(2x+4y)/(1+cos^2(x+2y)) dx + int_()^() (2*sin (2x+4y))/(1+cos^2(x+2y)) dy $
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