Primitiva di una differenziale

[nadia891]

quale è la primitiva della forma differenziale $y/(x+y)^2 dx + 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy $

[DMNQ]

"nadia89":quale è la primitiva della forma differenziale $y/(x+y)^2 dx + 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy $

Si cerca una funzione differenziabile $ f : \Omega -> \RR $ tale che

$ \frac{delf}{delx}(x,y) =y/(x+y)^2 $ (*)

e $ \frac{ delf}{dely}(x,y) =1/(y+1) - x/(x+y)^2 $ (**) .

Con (*) abbiamo $ f(x,y) = \frac{-y}{x+y} + k(y) $
dunque $ \frac{delf}{dely}(x,y) = \frac{-x}{(x+y)^2} + k '(y) $ .

Con (**) , otteniamo $ k '(y) = \frac{1}{y+1} $ e cosi $ k(y) = ln|y+1|+ K $ .

Le funzioni $ f $ sono definite sotto la forma : $ f(x,y) = ln|y+1| - \frac{y}{x+y} + K $ , $ K $ costante $in RR $
e per $ \Omega $ una componente connessa dell'aperto $ { (x,y) in \RR^2 | x+y !=0 $ e $ y != -1 } $

[nadia891]

non capisco perchè nella soluzione, nel trovarmi la primitiva il libro calcola direttamente $int 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy $

[DMNQ]

"nadia89":non capisco perchè nella soluzione, nel trovarmi la primitiva il libro calcola direttamente $int 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy $

E la stessa idea . ( forse più rapida ? )

[nadia891]

si però non ne capisco il senso perchè se faccio $int y/(x+y)^2 dx $ non ottengo la stessa cosa. Allora si tratta di esser fortunati nel " prendere" la parte giusta??

[DMNQ]

"nadia89":si però non ne capisco il senso perchè se faccio $int y/(x+y)^2 dx $ non ottengo la stessa cosa. Allora si tratta di esser fortunati nel " prendere" la parte giusta??

Riprendo l'esplicazione .
Si cerca una funzione differenziabile $ f : \Omega -> \RR $ tale che
$ \frac{delf}{delx}(x,y) =y/(x+y)^2 $ (*)
e $ \frac{ delf}{dely}(x,y) =1/(y+1) - x/(x+y)^2 $ (**) .

Difatti ci sono due modi :

1/ Se parto da (*) come l'ho già fatto .

Le funzioni $ f $ sono definite sotto la forma : $ f(x,y) = ln|y+1|- \frac{y}{x+y} +K $ , $ K $ costante $in RR $

2/ Se parto da (**) , ho $ f(x,y) = \ln|y+1| + \frac{x}{x+y} + k(x) $

dunque $ \frac{delf}{delx}(x,y) = \frac{y}{(x+y)^2} + k '(x) $ .

Con (*) , ottengo $ k '(x) = 0 $ e cosi $ k(x) = C $ .

Le funzioni $ f $ sono definite sotto la forma : $ f(x,y) = ln|y+1|+ \frac{x}{x+y} +C $ , $ C $ costante $in RR $


Ma i modi 1 o 2 danno , tutt'e due , le stesse funzioni f !!!!

[nadia891]

si l'ho capito ma sul libro riporta :

"$ int 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy = ln|y+1|- y/(x+y)+ c(x) .
Ma essendo la forma differenziale esatta c(x) è costante.

Da qui il risultato
"
e questo è ok ma se invece della parte "dy" prendo la "dx" e calcolo l'integrale essendo esatta c(y) è costante ma non ottengo lo stesso risultato..

[nadia891]

quello che chiedo è :
perchè non valgono i lemmi http://dispense.dmsa.unipd.it/mazzia/an ... ione25.pdf (pag 4) ?

[DMNQ]

"nadia89":quello che chiedo è :
perchè non valgono i lemmi http://dispense.dmsa.unipd.it/mazzia/an ... ione25.pdf (pag 4) ?

Ho letto il lemma ( pag 4 ) e non vedo la contradizzione . Il lemma è verificato senza problema .

[nadia891]

invece io la vedo.

Mi spiego meglio :

se avessi calcolato $ int y / ( x+y) ^2 dx $ avrei ottenuto = $-y/(x+y) + c(y) $
Per quanto scritto nel lemma avrei dovuto dire " Poichè è esatta ho che c(y) è costante e quindi la primitiva è :$ -y/(x+y) + c $.

Ma sappiamo che non è così!!

[gugo82]

"nadia89":quale è la primitiva della forma differenziale $y/(x+y)^2 dx + 1/(y+1) - x/(x+y)^2 dy $

[xdom="gugo82"]Dopo 100 post ancora inizi thread in questa maniera barbara?

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