Primitiva di un rapporto in un eq. diff.
Salve ragazzi, è il mio primo messaggio, spero di non violare nessun regolamento!
Sto svolgendo le equazioni differenziali, a variabili separabili(primi esercizi) ma purtroppo mi blocco sempre perchè non so fare la primitiva di un rapporto...ad esempio
primitiva di 1/x^3 ==?
primitiva di y'/y^2 ==?
purtroppo ho anche cercato tramite internet ma non ho trovato nulla..
Sto svolgendo le equazioni differenziali, a variabili separabili(primi esercizi) ma purtroppo mi blocco sempre perchè non so fare la primitiva di un rapporto...ad esempio
primitiva di 1/x^3 ==?
primitiva di y'/y^2 ==?
purtroppo ho anche cercato tramite internet ma non ho trovato nulla..
Risposte
Sai quanto vale la primitiva di $x^(alpha)$, con $alpha in RR$? Se sì, sai anche la primitiva di $1/x^3$,
dato che per le proprietà delle potenze $1/x^3= x^(-3)$
Quanto alla seconda richiesta, tu hai $int (y')/y^2 dx$ che equivale a $int 1/y^2 dy$, che ora sai risolvere
dato che per le proprietà delle potenze $1/x^3= x^(-3)$
Quanto alla seconda richiesta, tu hai $int (y')/y^2 dx$ che equivale a $int 1/y^2 dy$, che ora sai risolvere
Gi8, innanzitutto grazie per la risposta in tempo breve.
Per quanto riguarda il primo integrale ho seguito il tuo consiglio e ho fatto:
integ(1/x^3)dx => integ(x^-3)dx => posso ottenere due possibili casi:
Caso A(moltiplicando quindi il segno meno dell'esponente a tutto): -(3/4)*x^4
Caso B(lasciando il segno meno dell'esponente, all'esponente stesso): (3/4)*x^-4
Quale dei due è giusto?
Per la seconda primitiva, non so in base a quale passaggio, sia venuto che y' (ovvero una derivata) sia uguale a 1...poi per il resto deduco che la modalità di risoluzione sia identica alla prima primitiva...deduco anche che dx prima che diventa dy dopo sia un errore di distrazione, nella risoluzione della primitiva da te consigliata...
Per quanto riguarda il primo integrale ho seguito il tuo consiglio e ho fatto:
integ(1/x^3)dx => integ(x^-3)dx => posso ottenere due possibili casi:
Caso A(moltiplicando quindi il segno meno dell'esponente a tutto): -(3/4)*x^4
Caso B(lasciando il segno meno dell'esponente, all'esponente stesso): (3/4)*x^-4
Quale dei due è giusto?
Per la seconda primitiva, non so in base a quale passaggio, sia venuto che y' (ovvero una derivata) sia uguale a 1...poi per il resto deduco che la modalità di risoluzione sia identica alla prima primitiva...deduco anche che dx prima che diventa dy dopo sia un errore di distrazione, nella risoluzione della primitiva da te consigliata...
"antony85":Preferisco non rispondere, per una tua maggiore comprensione.
integ(1/x^3)dx => integ(x^-3)dx => posso ottenere due possibili casi:
Caso A(moltiplicando quindi il segno meno dell'esponente a tutto): -(3/4)*x^4
Caso B(lasciando il segno meno dell'esponente, all'esponente stesso): (3/4)*x^-4
Ti ri-chiedo: Quanto vale $int x^alpha dx $, con $alpha$ generico numero reale.
Rispondi a questa, poi hai trovato la soluzione (basta mettere $alpha= -3$)
"antony85":Nessun errore di distrazione.
Per la seconda primitiva, non so in base a quale passaggio, sia venuto che y' (ovvero una derivata) sia uguale a 1...poi per il resto deduco che la modalità di risoluzione sia identica alla prima primitiva...deduco anche che dx prima che diventa dy dopo sia un errore di distrazione, nella risoluzione della primitiva da te consigliata...
Partiamo dall'inizio: presumo che l'equazione differenziale di partenza fosse $y'=y^2/x^3$.
Per prima cosa si separano le variabili dividendo per $y^2$ da entambe le parti. Si ottiene $(y')/(y^2)=1/x^3$
A questo punto integri da entrambe le parti con lo stesso differenziale $dx$
$int (y')/y^2 dx =int 1/x^3 dx$
Nel primo membro si ha $y' dx $ che è come avere $(dy/dx)dx$ (per definizione di derivata), cioè $dy$
Ho rifatto i conti, e controllando a destra e sinistra, posso appurare (quasi con sicurezza 
) che int(1/x^3) diventa:
int(x^-3) => [1/(-3+1)]*x^-3+1 quindi in totale (1/2)*x^-2...,quindi cio che avevo scritto prima(i casi A e B erano completamente sbagliati e senza senso)era errato.
Per quanto riguarda l'eq diff avente int(y'/y^2)dx, la quale veniva int(1/y^2) e poi si svolgeva nello stesso modo scritto da me sopra, ho pensato che dato che y è una funzione, e la derivata di una funzione(di cui non conosciamo niente) è sempre 1, mentre al denominatore tranquillamente rimaneva y^2, il tutto veniva gestito come fosse y^-3 e da qui si faceva l'integrale normalmente, come sopra.(Ma non so se questa supposizione da me pensata(y'=1) sia esatta)
L'eq. diff. iniziale non era quella proposta da te, la mia domanda era solo "la fusione" tra i punti bui di due esercizi.
Comunque sia, per esercitarmi, ho provato a svolgere anche l'eq. diff proposta da te.
y' = y^2/x^3 => y'/y^2 = 1/x^3 => int(y'/y^2)dy = int(1/x^3)dx => int(1/y^2 dy) = int(x^-3)dx
int(y^-2)dy = (1/2)*x^-2 => y^-1=1/2x^-2 + c => 1/y=(1/2)*(1/x^2) + c
1/y=(1/2*x^2) + c => y=2*x^2 + c ho pensato fosse giusto esplicitare la y,invertendo tutto.
Dopodiche mi sembra, che ogni incognita del risultato venga moltiplicata per e^-x, quindi il tutto diventa:
y*e^-x = 2*x^2*e^-x + c
) che int(1/x^3) diventa:int(x^-3) => [1/(-3+1)]*x^-3+1 quindi in totale (1/2)*x^-2...,quindi cio che avevo scritto prima(i casi A e B erano completamente sbagliati e senza senso)era errato.
Per quanto riguarda l'eq diff avente int(y'/y^2)dx, la quale veniva int(1/y^2) e poi si svolgeva nello stesso modo scritto da me sopra, ho pensato che dato che y è una funzione, e la derivata di una funzione(di cui non conosciamo niente) è sempre 1, mentre al denominatore tranquillamente rimaneva y^2, il tutto veniva gestito come fosse y^-3 e da qui si faceva l'integrale normalmente, come sopra.(Ma non so se questa supposizione da me pensata(y'=1) sia esatta)
L'eq. diff. iniziale non era quella proposta da te, la mia domanda era solo "la fusione" tra i punti bui di due esercizi.
Comunque sia, per esercitarmi, ho provato a svolgere anche l'eq. diff proposta da te.
y' = y^2/x^3 => y'/y^2 = 1/x^3 => int(y'/y^2)dy = int(1/x^3)dx => int(1/y^2 dy) = int(x^-3)dx
int(y^-2)dy = (1/2)*x^-2 => y^-1=1/2x^-2 + c => 1/y=(1/2)*(1/x^2) + c
1/y=(1/2*x^2) + c => y=2*x^2 + c ho pensato fosse giusto esplicitare la y,invertendo tutto.
Dopodiche mi sembra, che ogni incognita del risultato venga moltiplicata per e^-x, quindi il tutto diventa:
y*e^-x = 2*x^2*e^-x + c
Si ma devi stare attento:
$1/y = 1/(2x^2)+ c$
$y = (2x^2)/(1+2x^2c)$
Hai fatto bene così vengono fuori le ca.....
Se scrivi
$y = 2x^2 +c$
la su eq. differenziale è : $y' = 4x$
che non è quella di partenza:
$y' = (y^2)/(x^3)$
Questo non l'avevo visto....ma che sarebbe mai ?
$1/y = 1/(2x^2)+ c$
$y = (2x^2)/(1+2x^2c)$
1/y=(1/2*x^2) + c => y=2*x^2 + c ho pensato fosse giusto esplicitare la y,invertendo tutto.
Hai fatto bene così vengono fuori le ca.....
Se scrivi
$y = 2x^2 +c$
la su eq. differenziale è : $y' = 4x$
che non è quella di partenza:
$y' = (y^2)/(x^3)$
Dopodiche mi sembra, che ogni incognita del risultato venga moltiplicata per e^-x, quindi il tutto diventa:
y*e^-x = 2*x^2*e^-x + c
Questo non l'avevo visto....ma che sarebbe mai ?
sapevo che in una certa tipologia di esercizi, alla fine andassero moltiplicati tutti i fattori per e^-x...o almeno cosi ricordavo dalle lezioni in classe...
comunque non ho capito come fa a invertirsi la frazione, e a ritrovarsi 2*x^2 sia al numeratore che al denominatore...
comunque non ho capito come fa a invertirsi la frazione, e a ritrovarsi 2*x^2 sia al numeratore che al denominatore...
"antony85":
sapevo che in una certa tipologia di esercizi, alla fine andassero moltiplicati tutti i fattori per e^-x...o almeno cosi ricordavo dalle lezioni in classe...
[size=150]comunque non ho capito come fa a invertirsi la frazione[/size], e a ritrovarsi 2*x^2 sia al numeratore che al denominatore...
Pentiti !!!
Stai facendo delle equazioni differenziali e non sai risolvere una banale espressione algebrica...
Per penitenza chiederai la soluzione nel forum della scuola media...*** secondaria-i-grado-f28.html *** le frazioni si imparano li se non ricordo male...
Scusa se non ti aiuto ma mi sembra troppo....
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