Primitiva
Ciao. Avete suggerimenti per risolvere un integrale indefinito del tipo \( \int\frac{1}{x}\left(\frac{a}{x}-1\right)^{b}dx \) ?
Ho provato per parti, ma non mi porta da nessuna strada. Grazie.
Ho provato per parti, ma non mi porta da nessuna strada. Grazie.
Risposte
Questo è un integrale "strano", di quelli che non sempre si possono risolvere elementarmente.
Cambiando un attimo i nomi dei parametri (il perché sarà evidente più avanti), scrivo l'integrale come:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x\; .
\]
Suppongo innanzitutto che \(\beta \in \mathbb{Q}\). In tal caso l'integrale assegnato è un integrale binomio: infatti, usando la notazione proposta in questo mio post, possiamo scrivere:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x = \mathfrak{I} (-1,-1,\beta ; \alpha, -1)\; ,
\]
ove \(\mathfrak{I} (p,r,s;a,b):=\int x^p\ (ax^r+b)^s\ \text{d} x\) è il generico integrale binomio.
Per il noto teorema di Tchebichev richiamato in quel mio post, si può dire che l'integrale proposto è elementarmente integrabile, perché il numero:
\[
\frac{p+1}{r}=\frac{-1+1}{-1}=0
\]
è intero.
Bisogna trovare una sostituzione razionalizzante. L'idea che viene subito è quella del cambiamento di variabile \(t=1/x\), il quale muta l'integrale in:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x \stackrel{t=1/x}{=} \int t\ (\alpha\ t-1)^b\ (-t^{-2})\ \text{d} t = - \int t^{-1} (\alpha t-1)^\beta\ \text{d} t\; ;
\]
dato che \(\beta\) è razionale esso sarà del tipo \(\frac{\gamma}{\delta}\) con \(\gamma \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\) e \(\delta \in \mathbb{N}\setminus \{0\}\), e l'ulteriore sostituzione \(u=(\alpha t-1)^{1/\delta} \) muta l'integrale assegnato in:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x & \stackrel{t=1/x}{=} -\int t^{-1}\ (\alpha\ t-1)^{\gamma /\delta}\ \text{d} t \\
&\stackrel{u=(\alpha t-1)^{1/\delta}}{=} - \int \frac{\alpha}{1+u^\delta}\ u^\gamma\ \frac{\delta}{\alpha}\ u^{\delta -1}\ \text{d} u\\
&= -\delta \int \frac{u^{\gamma +\delta -1}}{1+u^\delta}\ \text{d} u\; .
\end{split}
\]
che è razionale e si integra come si sà.
Se invece \(\beta\) non è razionale, sono dolori... Infatti in questo caso non credo proprio che l'integrale indefinito sia calcolabile elementarmente.
Infine noto che, se l'integrale indefinito ti serve per calcolare un integrale definito, in realtà ne puoi fare quasi certamente a meno.
Infatti un integrale definito contenente quella roba lì si può quasi certamente ricondurre al calcolo di alcuni valori di qualche funzione euleriana, i.e. della funzione gamma \(\Gamma (x)\) o della funzione beta \(B (x,y)\).
Cambiando un attimo i nomi dei parametri (il perché sarà evidente più avanti), scrivo l'integrale come:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x\; .
\]
Suppongo innanzitutto che \(\beta \in \mathbb{Q}\). In tal caso l'integrale assegnato è un integrale binomio: infatti, usando la notazione proposta in questo mio post, possiamo scrivere:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x = \mathfrak{I} (-1,-1,\beta ; \alpha, -1)\; ,
\]
ove \(\mathfrak{I} (p,r,s;a,b):=\int x^p\ (ax^r+b)^s\ \text{d} x\) è il generico integrale binomio.
Per il noto teorema di Tchebichev richiamato in quel mio post, si può dire che l'integrale proposto è elementarmente integrabile, perché il numero:
\[
\frac{p+1}{r}=\frac{-1+1}{-1}=0
\]
è intero.
Bisogna trovare una sostituzione razionalizzante. L'idea che viene subito è quella del cambiamento di variabile \(t=1/x\), il quale muta l'integrale in:
\[
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x \stackrel{t=1/x}{=} \int t\ (\alpha\ t-1)^b\ (-t^{-2})\ \text{d} t = - \int t^{-1} (\alpha t-1)^\beta\ \text{d} t\; ;
\]
dato che \(\beta\) è razionale esso sarà del tipo \(\frac{\gamma}{\delta}\) con \(\gamma \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\) e \(\delta \in \mathbb{N}\setminus \{0\}\), e l'ulteriore sostituzione \(u=(\alpha t-1)^{1/\delta} \) muta l'integrale assegnato in:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{x}\ \left( \frac{\alpha}{x} -1\right)^\beta\ \text{d} x & \stackrel{t=1/x}{=} -\int t^{-1}\ (\alpha\ t-1)^{\gamma /\delta}\ \text{d} t \\
&\stackrel{u=(\alpha t-1)^{1/\delta}}{=} - \int \frac{\alpha}{1+u^\delta}\ u^\gamma\ \frac{\delta}{\alpha}\ u^{\delta -1}\ \text{d} u\\
&= -\delta \int \frac{u^{\gamma +\delta -1}}{1+u^\delta}\ \text{d} u\; .
\end{split}
\]
che è razionale e si integra come si sà.
Se invece \(\beta\) non è razionale, sono dolori... Infatti in questo caso non credo proprio che l'integrale indefinito sia calcolabile elementarmente.
Infine noto che, se l'integrale indefinito ti serve per calcolare un integrale definito, in realtà ne puoi fare quasi certamente a meno.
Infatti un integrale definito contenente quella roba lì si può quasi certamente ricondurre al calcolo di alcuni valori di qualche funzione euleriana, i.e. della funzione gamma \(\Gamma (x)\) o della funzione beta \(B (x,y)\).
ho provato un approccio "sperimentale" dando dei valori facili a b:
$b=0 : int 1/x dx = ln x$
$b=1 : int 1/x (a/x -1) dx = int (a-x)/x^2 dx = int -1/x +a/x^2 = -ln x -a/x$
$b=2 : int 1/x (a/x -1)^2 dx = int (x^2 -2ax + a^2)/x^3 dx = int 1/x -2a /x^2 +a^2/x^3 = ln x +2a/x -a^2/(2x^2)$
$b=3 : int 1/x (a/x -1)^3 dx = int (a^3-3a^2x+3ax^2-x^3)/x^4 dx = - ln x +3a/x +a^2/(2x^2)-a^3/(3x^3)$
..in sostanza c'è una situazione di questo tipo
$int 1/x ((a-x)/x)^bdx =int (a-x)^b/x^(b+1)dx =$
$ int ( ( ( b ),( 0 ) ) a^b +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)( -x) +...+( ( b ),( b-1 ) ) (-x)^(b-1)a+( ( b ),( b ) ) (-x)^b )/x^(b+1) dx$
che, di fatto, è solo una pallosissima somma .. integri termine a termine
$int ( ( ( b ),( 0 ) ) a^b/x^(b+1) +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)( -x)/x^(b+1) +...+( ( b ),( b-1 ) ) ((-x)^(b-1)a)/x^(b+1)+( ( b ),( b ) ) (-x)^b /x^(b+1) ) dx$
e la primitiva è una funzione del tipo
$( ( b ),( 0 ) ) a^b/(-bx^(b)) +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)/((b-1)x^(b-1)) + ...+ ( ( b ),( b-1 ) ) (a)/x^(1)+ ln x$
considerando che$ ( ( b ),( 0 ) )=( ( b ),( b ) )=1$
$b=0 : int 1/x dx = ln x$
$b=1 : int 1/x (a/x -1) dx = int (a-x)/x^2 dx = int -1/x +a/x^2 = -ln x -a/x$
$b=2 : int 1/x (a/x -1)^2 dx = int (x^2 -2ax + a^2)/x^3 dx = int 1/x -2a /x^2 +a^2/x^3 = ln x +2a/x -a^2/(2x^2)$
$b=3 : int 1/x (a/x -1)^3 dx = int (a^3-3a^2x+3ax^2-x^3)/x^4 dx = - ln x +3a/x +a^2/(2x^2)-a^3/(3x^3)$
..in sostanza c'è una situazione di questo tipo
$int 1/x ((a-x)/x)^bdx =int (a-x)^b/x^(b+1)dx =$
$ int ( ( ( b ),( 0 ) ) a^b +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)( -x) +...+( ( b ),( b-1 ) ) (-x)^(b-1)a+( ( b ),( b ) ) (-x)^b )/x^(b+1) dx$
che, di fatto, è solo una pallosissima somma .. integri termine a termine
$int ( ( ( b ),( 0 ) ) a^b/x^(b+1) +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)( -x)/x^(b+1) +...+( ( b ),( b-1 ) ) ((-x)^(b-1)a)/x^(b+1)+( ( b ),( b ) ) (-x)^b /x^(b+1) ) dx$
e la primitiva è una funzione del tipo
$( ( b ),( 0 ) ) a^b/(-bx^(b)) +( ( b ),( 1 ) ) a^(b-1)/((b-1)x^(b-1)) + ...+ ( ( b ),( b-1 ) ) (a)/x^(1)+ ln x$
considerando che$ ( ( b ),( 0 ) )=( ( b ),( b ) )=1$
dopo oltre 40 min spesi a litigare con la tastiera nella scrittura della risposta, vedo solo ora il post di gugo..
notando come il suo post sia infinitamente più preciso e argomentato del mio (e impallidendo difronte a tutto ciò), mi ritiro umilmente nelle mie stanze.
p.s. : scusa gugo per la risposta doppia!
notando come il suo post sia infinitamente più preciso e argomentato del mio (e impallidendo difronte a tutto ciò), mi ritiro umilmente nelle mie stanze.
p.s. : scusa gugo per la risposta doppia!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo