Primitiva
Salve a tutti,
per rispondere alla domanda se una funzione ammette primitiva c'è qualche teorema? So che per definizione una funzione F, derivabile in I, è una primitiva di f se F'(x)=f(x), per ogni x di I... Quindi se ad esempio ho la funzione $f(x)=x ln(x^2+2)$ e mi chiedono: dire motivando la risp se f ammette primitiva in R.. Devo applicare la definizione? oppure c'è qualche teorema? ho cercato nei libri ma non capisco...
per rispondere alla domanda se una funzione ammette primitiva c'è qualche teorema? So che per definizione una funzione F, derivabile in I, è una primitiva di f se F'(x)=f(x), per ogni x di I... Quindi se ad esempio ho la funzione $f(x)=x ln(x^2+2)$ e mi chiedono: dire motivando la risp se f ammette primitiva in R.. Devo applicare la definizione? oppure c'è qualche teorema? ho cercato nei libri ma non capisco...
Risposte
Certo... Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
$f$ è una funzione continua su tutto l'asse reale.
La funzione integrale $F(x) = int_0^x t ln( t^2 + 2) dt$ è una primitiva di $f$.
$f$ è una funzione continua su tutto l'asse reale.
La funzione integrale $F(x) = int_0^x t ln( t^2 + 2) dt$ è una primitiva di $f$.
quindi per ammettere primitiva deve essere continua...
La continuità è sicuramente una condizione sufficiente.
ma non necessaria allora...quindi se non è continua può succedere che non è integrabile..no? e in questo caso come faccio ad affermarlo?
Ciao!
Se la funzione integranda f non fosse continua potresti verificare la sua integrabilità ricorrendo alla definizione in merito attualmente adottata nel tuo corso
(non sò se è quella secondo Riemann oppure Peano-Jordan..),
ma così facendo spesso diventerebbero procedimenti lunghi e complessi:
tu comunque provaci in questo verso,se al tuo stato attuale di conoscenze dovessi incontrare casi del genere,
ma sappi pure che,se pazienti un pò,
scoprirai tra un pò dei criteri la cui applicabilità è pure legata alla tipologia delle discontinuità di f nell'intervallo d'integrazione..
Saluti dal web.
Se la funzione integranda f non fosse continua potresti verificare la sua integrabilità ricorrendo alla definizione in merito attualmente adottata nel tuo corso
(non sò se è quella secondo Riemann oppure Peano-Jordan..),
ma così facendo spesso diventerebbero procedimenti lunghi e complessi:
tu comunque provaci in questo verso,se al tuo stato attuale di conoscenze dovessi incontrare casi del genere,
ma sappi pure che,se pazienti un pò,
scoprirai tra un pò dei criteri la cui applicabilità è pure legata alla tipologia delle discontinuità di f nell'intervallo d'integrazione..
Saluti dal web.
ok grazie!!
Ciò che puoi dire è che, se una funzione ha una discontinuità di prima specie (di tipo salto), allora non ammette primitive; questo discende dalla proprietà di Darboux delle derivate.
D'altra parte la continuità è una condizione solo sufficiente; ad esempio, la funzione
\[ f(x) = \begin{cases}
2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}, & \text{se}\ x\neq 0. \\
0, & \text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
ammette primitive. Una di queste è
\[ g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin\frac{1}{x}, & \text{se}\ x\neq 0. \\
0, & \text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
D'altra parte la continuità è una condizione solo sufficiente; ad esempio, la funzione
\[ f(x) = \begin{cases}
2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}, & \text{se}\ x\neq 0. \\
0, & \text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
ammette primitive. Una di queste è
\[ g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin\frac{1}{x}, & \text{se}\ x\neq 0. \\
0, & \text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
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