Primi passi in analisi complessa - Formula di Cauchy
Buona sera, foro 
Come da titolo, sono all'inizio del corso di analisi complessa, e già mi sembra di vedere cose che non stanno in alcun mondo a me conosciuto
Vado subito al dunque: la ben nota formula di Cauchy ci dice che, data una funzione olomorfa in un aperto \(\Omega\) ed \(R\) tale che \(\overline{B_R(z_0)} \subset \Omega\),
\[
f(z) = \frac 1 {2 \pi i}\int_{\partial B_R(z_0)} \frac{f(\xi)}{\xi-z} \ d\xi , \qquad \qquad z \in B_1(0).
\]
Questo significa, come puntualizzato dal mio libro, che se prendo, ad esempio, il cerchio unitario in \(\mathbb C\) ed assegno il valore di una \(f(z)\) sulla sua frontiera, chiedere che \(f\) sia anche olomorfa determina univocamente \(f\); in altre parole, ho una sola scelta possibile per \(f\) date queste condizioni.
Ora, ecco cosa ho pensato: nel setting descritto, scelgo una \(f\) olomorfa tale che \(f(z) = 1 \ \forall z \in \partial B_1(0)\). Per quanto detto, a questo punto so già tutto su \(f(z)\) se \(z \in B_1(0)\).
Adesso definisco \(g(z) := f(z)^2\); in questo modo \(g(z) = f(z) = 1\) quando \(z \in \partial B_1(0)\), ma in generale \(f(z) \ne g(z)\) negli altri casi. Questo significa che solo una tra \(f\) e \(g\) è derivabile!
La cosa che mi sconvolge è che non ho fatto altro che comporre \(f\) con la funzione \(z \mapsto z^2\)!
Da questo, mi sento condotto a concludere che in \(\mathbb C\) non sia più valida la regola di derivazione di funzione composta, visto che in questo caso la composta non è nemmeno derivabile!
Siccome, come detto, sono ai primi passi, mi rivolgo a voi per commenti/critiche/insulti
Grazie!
Come da titolo, sono all'inizio del corso di analisi complessa, e già mi sembra di vedere cose che non stanno in alcun mondo a me conosciuto
Vado subito al dunque: la ben nota formula di Cauchy ci dice che, data una funzione olomorfa in un aperto \(\Omega\) ed \(R\) tale che \(\overline{B_R(z_0)} \subset \Omega\),
\[
f(z) = \frac 1 {2 \pi i}\int_{\partial B_R(z_0)} \frac{f(\xi)}{\xi-z} \ d\xi , \qquad \qquad z \in B_1(0).
\]
Questo significa, come puntualizzato dal mio libro, che se prendo, ad esempio, il cerchio unitario in \(\mathbb C\) ed assegno il valore di una \(f(z)\) sulla sua frontiera, chiedere che \(f\) sia anche olomorfa determina univocamente \(f\); in altre parole, ho una sola scelta possibile per \(f\) date queste condizioni.
Ora, ecco cosa ho pensato: nel setting descritto, scelgo una \(f\) olomorfa tale che \(f(z) = 1 \ \forall z \in \partial B_1(0)\). Per quanto detto, a questo punto so già tutto su \(f(z)\) se \(z \in B_1(0)\).
Adesso definisco \(g(z) := f(z)^2\); in questo modo \(g(z) = f(z) = 1\) quando \(z \in \partial B_1(0)\), ma in generale \(f(z) \ne g(z)\) negli altri casi. Questo significa che solo una tra \(f\) e \(g\) è derivabile!
La cosa che mi sconvolge è che non ho fatto altro che comporre \(f\) con la funzione \(z \mapsto z^2\)!
Da questo, mi sento condotto a concludere che in \(\mathbb C\) non sia più valida la regola di derivazione di funzione composta, visto che in questo caso la composta non è nemmeno derivabile!
Siccome, come detto, sono ai primi passi, mi rivolgo a voi per commenti/critiche/insulti
Grazie!
Risposte
E se $f$ fosse costretta ad essere $f(z) \equiv 1$ nella palla chiusa (cosa che in effetti è...)?
Non è possibile nessun altro caso!
Infatti dalla formula integrale di Cauchy trai che: \(\forall z\in B(z_0;r)\),
\[
g(z) = \frac{1}{2\pi\ \imath}\intop_{\partial B(z_0;r)} \frac{1}{\zeta -z}\ \text{d} \zeta = f(z)\; ;
\]
inoltre è proprio:
\[
\frac{1}{2\pi\ \imath}\intop_{\partial B(z_0;r)} \frac{1}{\zeta -z}\ \text{d} \zeta = \frac{1}{2\pi\ \imath}\ (2\pi\ \imath ) =1
\]
quindi \(f(z)=1=g(z)\) dentro \(B(z_0;r)\).
Infatti dalla formula integrale di Cauchy trai che: \(\forall z\in B(z_0;r)\),
\[
g(z) = \frac{1}{2\pi\ \imath}\intop_{\partial B(z_0;r)} \frac{1}{\zeta -z}\ \text{d} \zeta = f(z)\; ;
\]
inoltre è proprio:
\[
\frac{1}{2\pi\ \imath}\intop_{\partial B(z_0;r)} \frac{1}{\zeta -z}\ \text{d} \zeta = \frac{1}{2\pi\ \imath}\ (2\pi\ \imath ) =1
\]
quindi \(f(z)=1=g(z)\) dentro \(B(z_0;r)\).
Oh Gauss, è l'indice di avvolgimento della curva
Che roba fantastica!!
Grazie Seneca e Gugo, siete impeccabili!
Che roba fantastica!!
Grazie Seneca e Gugo, siete impeccabili!
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