Primi approcci con equazioni differenziali

[MrMojoRisin891]

Salve a tutti, sono alle prime armi con le equazioni differenziali, e affrontando i primi esercizi mi sto ritrovando impantanato.
Avrei bisogno del vostro aiuto per entrare nel ragionamento.
Preso questo problema di Cauchy:
$y'logx = y^2 + 1$
$y(x_0) = y_0$
mi chiede di dire per quali valori di $x_0, y_0$ il problema ha una e una sola soluzione.
So che devo cercare la risposta nei teoremi di Cauchy, ma mi serve una spinta iniziale grazie!

[mazzarri1]

Ciao!!

Direi di cominciare a risolvere la eq differenziale che e a variabili separabili

$y' logx =y^2+1$

$(dy)/(dx) logx=y^2+1$

$ int (dy)/(y^2+1) = int (dx)/(logx)$

Corretto? Da qui in poi continui tu che troviamo la soluzione generale?

Il primo integrale e ovvio il secondo un po meno...

Anzi a dirla tutta e uno degli integrali piu difficili del mondo... se cerchi in rete troverai formula indescrivibile del grande genio Ramanujan... si chiama logaritmo integrale Li(x)... non e che hai sbagliato il testo?

[alessio761]

"MrMojoRisin89":Salve a tutti, sono alle prime armi con le equazioni differenziali, e affrontando i primi esercizi mi sto ritrovando impantanato.
Avrei bisogno del vostro aiuto per entrare nel ragionamento.
Preso questo problema di Cauchy:
$y'logx = y^2 + 1$
$y(x_0) = y_0$
mi chiede di dire per quali valori di $x_0, y_0$ il problema ha una e una sola soluzione.
So che devo cercare la risposta nei teoremi di Cauchy, ma mi serve una spinta iniziale grazie!

Ciao,

premetto che una risposta utile non può (più...dopo le varie "riforme" 3x2 etc..) prescindere da quanto è stato esposto a teoria nel tuo corso; in mancanza di ulteriori informazioni assumo che siano state introdotte le definizioni base e siano stati forniti i Teoremi ad hoc che permettono di affrontare questo tipo di domanda per equazioni a variabili separabili.


Intanto dovresti cominciare "classificando" l'equazione: è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine, non lineare (c'è quel $y^2$...), NON IN FORMA NORMALE (non è del tipo $y'(x)=f(x,y(x))$...), e questo è il primo problema perché, in genere, la teoria viene svolta per equazioni IN FORMA NORMALE. Dovrai intanto capire se e come puoi ricondurre a forma normale e a quel punto otterrai una equazione a variabili separabili $y'(x)=a(x)b(y(x))$, per le quali dovresti conoscere i teoremi che assicurano esistenza e unicità...

Per ricondurre a forma normale occorrerebbe, fissato $x_0$, dividere per $log(x)$...ora intanto dovrà comunque essere $x_0>0$ (altrimenti il $\log$ non è neanche definito), poi:

(1) Se $01$ allora $log(x_0)\ne 0$ ed essendo $log$ una funzione continua esiste tutto un intervallo aperto $I$ intorno di $x_0$ in cui $log(x)\ne 0$ per ogni $x\in I$; in tal caso, l'equazione proposta equivale a
$$
y'(x)=\frac{1}{\log(x)}(y^2(x)+1)\qquad\textrm{ per }x\in I
$$
che è a VS con $a(x)=\frac{1}{\log(x)}$, con dominio di $a$, in questo caso, l'intervallo $I$ trovato in dipendenza da $x_0$, e $b(y)=y^2+1$, con dominio di $b$ l'intervallo $J=\mathbb R$ (e per questa basta usare la teoria, vedi sotto).

(2) Se invece $x_0=1$ allora $log(x_0)=log(1)=0$ e sostituendo nell'equazione troveresti (ipotizzando che esista una soluzione $y$...):
$$
0=y'(1)\log(1)=y^2(1)+1\ne 0
$$
palesemente impossibile (l'estensore dell'esercizio è stato buono...); quindi nel caso non riconducibile a forma normale ($x_0=1$) è immediato constatare che il problema
$y'logx = y^2 + 1$
$y(1) = y_0$
non ha soluzione (qualunque sia $y_0\in\mathbb R$).

Rimane da discutere il primo caso, e qui basta ricordare la teoria: per una equazione differenziale a VS del tipo
$$
y'(x)=a(x)b(y(x))
$$
con $a$ definita (almeno) su un intervallo $I$ e $b$ definita (almeno) su intervallo $J$
ed il problema di Cauchy associato
$y'=a(x)b(y)$
$y(x_0)=y_0$
è SUFFICIENTE (ma non necessario) per l'ESISTENZA (LOCALE) di una soluzione la validità delle due condizioni (insieme):
1) $x_0\in I$ e $a$ è continua in un intorno di $x_0$;
2) $y_0\in J$ e $b$ è continua in un intorno di $y_0$;
Inoltre, è SUFFICIENTE (ma non necessario) per l'UNICITA' della soluzione detta, nell'ipotesi che valgano le precedenti 1) e 2), che valga almeno una fra le due condizioni (indipendenti):
i) che $b(y_0)\ne 0$;
ii) che $b$ sia una funzione di classe $C^1$ in un intorno di $y_0$.

[Il Teorema si può raffinare ulteriormente, per esempio dando un'ulteriore condizione sufficiente per l'unicità nel caso che $b(y_0)=0$...ma nel tuo caso non serve. Nota che sono tutte condizioni sufficienti non necessarie; se le condizioni non valgono, il problema di Cauchy andrebbe esaminato di per sé, e può, a priori, succedere abbastanza di tutto...]

Ora, nel nostro caso $a(x)=\frac{1}{\log(x)}$ e $b(y)=y^2+1$ sono funzioni continue, e quindi il problema di Cauchy ha almeno una soluzione (locale) per ogni $x_0\in]0,1[\cup]1,+\infty[=I_1\cup I_2=dom(a)$ e ogni $y_0\in\mathbb \RR=\dom(b)$, e tale soluzione sarà definita in tutto un intervallo[nota]Per definizione di soluzione $y$ di una equazione differenziale ordinaria, il dominio di $y$ deve essere un intervallo (contenente il dato iniziale $x_0$, se presente).[/nota] aperto $I_{x_0}$ contenente $x_0$ e contenuto in $I_1$ (se $01$).

L'unicità della soluzione trovata è assicurata per tutti gli $x_0$ e $y_0$ trovati sopra (per cui c'è esistenza) perché la funzione $b$ non è mai nulla (e cioè uso la condizione i)); naturalmente, essendo $b$ un polinomio (e quindi una funzione di classe $C^{\infty}$ su tutto $\mathbb R$), nulla vieta di giustificare l'unicità osservando che vale la condizione ii).



Riassumendo:

il problema ha significato per $x_0>0$ e $y_0\in \mathbb R$;

se $x_0=1$ il problema non ha soluzione, qualunque sia $y_0\in\mathbb R$;

se $x_0\in]0,1[\cup]1,+\infty[$ il problema è (in forma normale e) a variabili separabili e (per i Teoremi citati) ha soluzione (locale) unica per ogni $y_0\in\mathbb R$.


Ammesso che la teoria sia stata svolta così (o in modo equivalente, per esempio con il Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale per (sistemi di) equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale...), l'esercizio non era "cattivo" ($b$ mai nulla...), la (piccola) difficoltà sta forse nel fatto che l'equazione non è in forma normale...

Nota che, anche senza scrivere la soluzione esplicita, in questo caso puoi subito dire se la soluzione sarà crescente o decrescente, abbozzarne il grafico in un intorno di $x_0$...e se richiesto, dopo aver osservato che la soluzione è derivabile quante volte si vuole..., scrivere il polinomio di Taylor con centro $x_0$ della soluzione...

[MrMojoRisin891]

grazie alessio76, era proprio il ragionamento che dovevo eseguire io!
grazie anche a mazzarri comunque

[mazzarri1]

Figurati... avevi deetto di essere alle prime armi... non pensavo mai piu uma cosa simile...la trattazione di alessio e degna di una rivista scientifica... sinceramente in tanti anni di universita nessuno mi ha mai insegnato una cosa simile complimenti sinceri!!!

[alessio761]

"MrMojoRisin89":grazie alessio76, era proprio il ragionamento che dovevo eseguire io!

Prego!

[alessio761]

"mazzarri":Figurati... avevi deetto di essere alle prime armi... non pensavo mai piu uma cosa simile...la trattazione di alessio e degna di una rivista scientifica... sinceramente in tanti anni di universita nessuno mi ha mai insegnato una cosa simile complimenti sinceri!!!

Grazie! ma è un caso