Prima formula di Cauchy
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione della prima formula di Cauchy.
Riporto di seguito la parte della dimostrazione che non ho compreso.
Sia f(z) una funzione olomorfa nell'aperto $Omega sube CC$ e sia T un dominio regolare contenuto in $Omega$. Allora per ogni z interno a T si ha che
$f(z)=1/(2pii)int_(+partial T) f(zeta)/(zeta-z)d zeta$
Dimostrazione
Sia z interno a T. La frontiera del dominio T è un insieme compatto e quindi $dist(z,partial T)>0$. Posto $T'=T-B_(delta)(t)$ con $0
$int_(+partial T^{\prime}) f(zeta)/(zeta-z)d zeta=0$
da cui per l'additività dell'integrale curvilineo e usando le equazioni parametriche $zeta=z+delta e^(it)$, $t in [0,2pi]$, della circonferenza $ partial B_(delta)(t)$, si ottiene
$int_(+partial T) f(zeta)/(zeta-z)d zeta=int_(+partial B_(delta)(t)) f(zeta)/(zeta-z)d zeta$
Mi sapreste dire come si arriva a tale uguaglianza?
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione della prima formula di Cauchy.
Riporto di seguito la parte della dimostrazione che non ho compreso.
Sia f(z) una funzione olomorfa nell'aperto $Omega sube CC$ e sia T un dominio regolare contenuto in $Omega$. Allora per ogni z interno a T si ha che
$f(z)=1/(2pii)int_(+partial T) f(zeta)/(zeta-z)d zeta$
Dimostrazione
Sia z interno a T. La frontiera del dominio T è un insieme compatto e quindi $dist(z,partial T)>0$. Posto $T'=T-B_(delta)(t)$ con $0
$int_(+partial T^{\prime}) f(zeta)/(zeta-z)d zeta=0$
da cui per l'additività dell'integrale curvilineo e usando le equazioni parametriche $zeta=z+delta e^(it)$, $t in [0,2pi]$, della circonferenza $ partial B_(delta)(t)$, si ottiene
$int_(+partial T) f(zeta)/(zeta-z)d zeta=int_(+partial B_(delta)(t)) f(zeta)/(zeta-z)d zeta$
Mi sapreste dire come si arriva a tale uguaglianza?
Risposte
Penso di esserci riuscito da solo.
Per il teorema di Cauchy-Goursat
$int_(+partialT') (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta-int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=0 rArr int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta$
Sfruttando le equazioni parametriche $zeta=z+deltae^(it)$, $t in [0,2pi]$, della circonferenza $B_(delta)(z)$ si ottiene
$int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=iint_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt$
Bisogna valutare il seguente limite $lim_(delta rarr 0) int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=i lim_(delta rarr 0) int_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt$
Da questo punto in poi però non so più continuare. A quanto ho capito si dovrebbe usare il teorema di Lebesgue, ma non mi è chiaro come fare.
Per il teorema di Cauchy-Goursat
$int_(+partialT') (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta-int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=0 rArr int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta$
Sfruttando le equazioni parametriche $zeta=z+deltae^(it)$, $t in [0,2pi]$, della circonferenza $B_(delta)(z)$ si ottiene
$int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialB_(delta)(z)) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=iint_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt$
Bisogna valutare il seguente limite $lim_(delta rarr 0) int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=int_(+partialT) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=i lim_(delta rarr 0) int_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt$
Da questo punto in poi però non so più continuare. A quanto ho capito si dovrebbe usare il teorema di Lebesgue, ma non mi è chiaro come fare.
Dal limite
$ lim_(delta rarr 0) iint_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt $
poichè \( \delta \to 0 \) si ha
$ lim_(delta rarr 0) iint_0^(2pi) f(z)dt $
ed essendo f(z) indipendente dalla variabile t, posso portarlo fuori dall integrale
$ lim_(delta rarr 0) i f(z)int_0^(2pi) dt $
non rimane a questo punto che calcolare l'integrale di 1 tra 0 e 2 pigrego e eguagliando si ottiene la tesi.
Spero di essere stato chiaro
$ lim_(delta rarr 0) iint_0^(2pi) f(z+deltae^(it))dt $
poichè \( \delta \to 0 \) si ha
$ lim_(delta rarr 0) iint_0^(2pi) f(z)dt $
ed essendo f(z) indipendente dalla variabile t, posso portarlo fuori dall integrale
$ lim_(delta rarr 0) i f(z)int_0^(2pi) dt $
non rimane a questo punto che calcolare l'integrale di 1 tra 0 e 2 pigrego e eguagliando si ottiene la tesi.
Spero di essere stato chiaro
Vorrei capire come si dimostra che valgono le condizioni del teorema di Lebesgue, altrimenti non posso passare il limite dentro l'integrale...
Ma anche senza Lebesgue...
Hai:
\[
\begin{split}
\left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - 2\pi\ f(z)\right| &= \left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - \int_0^{2\pi} f(z)\ \text{d} t \right|\\
&\leq \left| \int_0^{2\pi} |f(z+\delta\ e^{\imath\ t}) -f(z)|\ \text{d} t \right|\; ;
\end{split}
\]
dato che \(f\) è olomorfa intorno a \(z\), essa è continua in un disco chiuso \(\overline{D}(z;R)\) con \(R\) sufficientemente piccolo; per il teorema di Cantor, allora, \(f\) è uniformemente continua in \(\overline{D}(z;R)\) e ciò importa che, in corrispondenza di un fissato valore di \(\varepsilon >0\), si può determinare un \(\sigma \in ]0,2R[\) tale che per ogni \(\zeta_1,\zeta_2\in \overline{D}(z;R)\) si abbia:
\[
|\zeta_1-\zeta_2|<\sigma \quad \Rightarrow \quad |f(\zeta_1)-f(\zeta_2)|<\frac{\varepsilon}{2\pi}\; ;
\]
in particolare, scegliendo \(\zeta_1=z+\delta e^{\imath\ t}\) e \(\zeta_2=z\), dalla precedente segue che:
\[
\delta<\sigma \quad \Rightarrow \quad |f(z+\delta e^{\imath\ t})-f(z)| <\frac{\varepsilon}{2\pi}\; ;
\]
pertanto prendendo \(\delta < \sigma\) si ha certamente:
\[
\left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - 2\pi\ f(z)\right| \leq \frac{\varepsilon}{2\pi}\ \left| \int_0^{2\pi} \text{d} t\right| = \varepsilon
\]
e ciò significa che \(\lim_{\delta \to 0^+} \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t = f(z)\).
Hai:
\[
\begin{split}
\left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - 2\pi\ f(z)\right| &= \left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - \int_0^{2\pi} f(z)\ \text{d} t \right|\\
&\leq \left| \int_0^{2\pi} |f(z+\delta\ e^{\imath\ t}) -f(z)|\ \text{d} t \right|\; ;
\end{split}
\]
dato che \(f\) è olomorfa intorno a \(z\), essa è continua in un disco chiuso \(\overline{D}(z;R)\) con \(R\) sufficientemente piccolo; per il teorema di Cantor, allora, \(f\) è uniformemente continua in \(\overline{D}(z;R)\) e ciò importa che, in corrispondenza di un fissato valore di \(\varepsilon >0\), si può determinare un \(\sigma \in ]0,2R[\) tale che per ogni \(\zeta_1,\zeta_2\in \overline{D}(z;R)\) si abbia:
\[
|\zeta_1-\zeta_2|<\sigma \quad \Rightarrow \quad |f(\zeta_1)-f(\zeta_2)|<\frac{\varepsilon}{2\pi}\; ;
\]
in particolare, scegliendo \(\zeta_1=z+\delta e^{\imath\ t}\) e \(\zeta_2=z\), dalla precedente segue che:
\[
\delta<\sigma \quad \Rightarrow \quad |f(z+\delta e^{\imath\ t})-f(z)| <\frac{\varepsilon}{2\pi}\; ;
\]
pertanto prendendo \(\delta < \sigma\) si ha certamente:
\[
\left| \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t - 2\pi\ f(z)\right| \leq \frac{\varepsilon}{2\pi}\ \left| \int_0^{2\pi} \text{d} t\right| = \varepsilon
\]
e ciò significa che \(\lim_{\delta \to 0^+} \int_0^{2\pi} f(z+\delta\ e^{\imath\ t})\ \text{d} t = f(z)\).
Come prima cosa ti ringrazio per la risposta. Comunque, dato che mi è stato richiesto esplicitamente l'uso del teorema di Lebesgue volevo chiederti se potevi spiegarmi come fare.
Dato che \(f\) è olomorfa intorno a \(z\), per \(\delta\) "piccolo" la famiglia \(f_\delta (t):=f(z+\delta e^{\imath\ t})\) è equilimitata, nel senso che:
\[
\forall \delta<\sigma,\ \sup_{t\in [0,2\pi]} |f_\delta (t)|\leq M\; .
\]
Conseguentemente, scelta una qualsiasi successione infinitesima \(\delta_n\), la successione \(f_{\delta_n}\) è maggiorata in modulo da una funzione sommabile (quella identicamente uguale a \(M\) su \([0,2\pi]\)) e puoi usare Lebesgue per il passaggio al limite.
\[
\forall \delta<\sigma,\ \sup_{t\in [0,2\pi]} |f_\delta (t)|\leq M\; .
\]
Conseguentemente, scelta una qualsiasi successione infinitesima \(\delta_n\), la successione \(f_{\delta_n}\) è maggiorata in modulo da una funzione sommabile (quella identicamente uguale a \(M\) su \([0,2\pi]\)) e puoi usare Lebesgue per il passaggio al limite.
Ora è chiaro. Grazie 
Riapro la discussione dato che ho trovato dei vecchi appunti del mio prof in cui si considera il seguente ragionamento.
Consideriamo la successione $phi_n(t)=f(z+delta_n e^(it))$ con $delta_n rarr 0$ e valutiamo se è possibile applicare il teorema di Lebesgue all'integrale $lim_(n rarr oo) int_0^(2pi) f(z+delta_n e^(it)) dt$
1) Le funzioni f al variare di n sono olomorfe e quindi continue. Saranno allora anche misurabili.
2) $lim_(n rarr oo) f(z+delta_n e^(it)) =f(z)$
A questo punto c'è una parte che non ho capito
3) $|f(z+delta_n e^(it))|<= max_T |f(z)|$
Mi sapreste spiegare quest'ultimo punto?
Consideriamo la successione $phi_n(t)=f(z+delta_n e^(it))$ con $delta_n rarr 0$ e valutiamo se è possibile applicare il teorema di Lebesgue all'integrale $lim_(n rarr oo) int_0^(2pi) f(z+delta_n e^(it)) dt$
1) Le funzioni f al variare di n sono olomorfe e quindi continue. Saranno allora anche misurabili.
2) $lim_(n rarr oo) f(z+delta_n e^(it)) =f(z)$
A questo punto c'è una parte che non ho capito
3) $|f(z+delta_n e^(it))|<= max_T |f(z)|$
Mi sapreste spiegare quest'ultimo punto?
Praticamente è quello che ho scritto qui:
in cui si prende \(M:=\max_{\overline{D}(z\;sigma)} |f|\).
"gugo82":
Dato che \(f\) è olomorfa intorno a \(z\), per \(\delta\) "piccolo" la famiglia \(f_\delta (t):=f(z+\delta e^{\imath\ t})\) è equilimitata, nel senso che:
\[
\forall \delta<\sigma,\ \sup_{t\in [0,2\pi]} |f_\delta (t)|\leq M\; .
\]
in cui si prende \(M:=\max_{\overline{D}(z\;sigma)} |f|\).
Ok. Grazie
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