Prima della definizione $f$ integrabile secondo Riemann.....
Prima di dare la definizione di $f$ integrabile secondo Riemann si parla si somme integrali per eccesso $S(p)$ e somme integrali per difetto $s(p)$ dove $p$ è una partizione dell'intervallo $[a,b]$ Poi viene vengono definite $s(f)$ e $S(f)$ dove la prima è sup {$s(p)$} mentre la seconda è inf {$S(p)$} ma cosa significano? Cioè perchè devono essere l'estremo superiore o inferiore?
Grazie
Grazie
Risposte
Hai capito cosa stai costruendo geometricamente quando consideri le somme \(s(f;P)\) ed \(S(f;P)\)?
Una volta che capisci questa faccenda, il perché uno vada a considerare il \(\sup_P s(f;P)\) e lo \(\inf_P S(f;P)\) è abbastanza evidente...
Una volta che capisci questa faccenda, il perché uno vada a considerare il \(\sup_P s(f;P)\) e lo \(\inf_P S(f;P)\) è abbastanza evidente...
Qual'è l'integrale di funzioni a tratti? Come esprimeresti l'approssimare una funzione attraverso funzioni a tratti?
[OT] Qual è ... 
[/OT]
[/OT]
Sì, geometricamente sto considerando l'area di moltissimi rettangoli che approssimano la funzione dall'alto e dal basso, e questa deve essere molto simile a quella del sottografico della funzione...però sarà che non mi sono chiare le proprietà dell'estremo superiore...ma non ho capito BENE il perchè viene messo in gioco.... 
Non vorrei sbagliare ma dovrebbe essere così che l'integrale è definito. Se disegno un altro rettangolo fra due punti $x_i$ ed $x_{i+1}$ link l'area grigia sottostante al grafico aumenta. La costruzione dell'integrale dice di prendere l'estremo superiore di tale area, ma poteva forse metterci anche il massimo, ma magari secondo tale costruzione si integrava meno roba. Andando poi a verificare in modo diretto questa cosa su delle funzioni si ricava la classe di quelle integrabili secondo Riemann, etc...
Il tuo problema è trovare un valore per l'area \(\mathcal{A}\) della parte di piano che sta sotto la curva grafico di \(f\).
Vedi che la somma dei rettangoli inscritti sotto la curva grafico subordinati alla generica partizione \(P\) è più piccola di quella che ti interessa, quindi intuitivamente l'area \(\mathcal{A}\) che sta sotto la curva grafico sarà \(\geq s(f;P)\) per ogni \(P\); di conseguenza passando all'estremo superiore \(\mathcal{A}\geq \sup_P s(f;P)\) (perché \(\mathcal{A}\) è certamente un maggiorante dell'insieme numerico \(\sigma(f):=\{s(f;P)\}_{P\text{ decomposizione di }[a,b]}\), quindi è maggiore dell'estremo superiore di tale insieme).
Analogamente, la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla curva grafico subordinati alla generica partizione \(P\) è più grande dell'area \(\mathcal{A}\) che ti interessa, quindi \(\mathcal{A}\) è \(\leq S(f;P)\); di conseguenza, passando all'estremo inferiore, si trova \(\mathcal{A}\leq \inf_P S(f;P)\) (perché \(\mathcal{A}\) è certamente un minorante dell'insieme numerico \(\Sigma(f):=\{S(f;P)\}_{P\text{ decomposizione di }[a,b]}\), quindi è minore dell'estremo inferiore di tale insieme).
Ora, si dimostra che i due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono sempre separati ed il secondo è l'insieme dei maggioranti, pertanto \(\sup \sigma (f) :=\sup_P s(f;P) \leq \inf_P S(f;P)=:\inf \Sigma (f)\) e l'area che cerchi "vorrebbe essere" uno dei numeri separatori dei due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) (i.e. uno qualunque dei numeri \(l\in [\sup \sigma (f), \inf \Sigma (f)]\))... Ma quale? Non lo puoi stabilire.
Quindi se i tuoi insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono solo separati non puoi dire nulla sulla tua area.
Se, invece, i due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono contigui, allora essi hanno un unico numero separatore perché \(\sup \sigma (f) :=\sup_P s(f;P) = \inf_P S(f;P)=:\inf \Sigma (f)\), ed esso è proprio il comune valore di \(\sup \sigma (f)\) ed \(\inf \Sigma (f)\).
Allora in questo caso hai un modo del tutto "naturale" di definire l'area \(\mathcal{A}\) della regione di piano sotto il grafico, perché puoi prendere l'unico numero separatore dei due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\), i.e. puoi porre \(\mathcal{A} := \sup \sigma (f) = \inf \Sigma (f)\).
Pertanto dirai che una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se i due insiemi \( \sigma (f)\) (descritto dalle somme inferiori) e \(\inf \Sigma (f)\) (descritto dalle somme superiori) sono contigui, i.e. se \(\sup \sigma (f) = \inf \Sigma (f)\). In tal caso il numero \(\mathcal{A} =\sup \sigma (f) =\inf \Sigma (f)\) lo chiami integrale di \(f\) esteso ad \([a,b]\) e lo denoti col simbolo \(\int_a^b f(t)\ \text{d} t\).
Vedi che la somma dei rettangoli inscritti sotto la curva grafico subordinati alla generica partizione \(P\) è più piccola di quella che ti interessa, quindi intuitivamente l'area \(\mathcal{A}\) che sta sotto la curva grafico sarà \(\geq s(f;P)\) per ogni \(P\); di conseguenza passando all'estremo superiore \(\mathcal{A}\geq \sup_P s(f;P)\) (perché \(\mathcal{A}\) è certamente un maggiorante dell'insieme numerico \(\sigma(f):=\{s(f;P)\}_{P\text{ decomposizione di }[a,b]}\), quindi è maggiore dell'estremo superiore di tale insieme).
Analogamente, la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla curva grafico subordinati alla generica partizione \(P\) è più grande dell'area \(\mathcal{A}\) che ti interessa, quindi \(\mathcal{A}\) è \(\leq S(f;P)\); di conseguenza, passando all'estremo inferiore, si trova \(\mathcal{A}\leq \inf_P S(f;P)\) (perché \(\mathcal{A}\) è certamente un minorante dell'insieme numerico \(\Sigma(f):=\{S(f;P)\}_{P\text{ decomposizione di }[a,b]}\), quindi è minore dell'estremo inferiore di tale insieme).
Ora, si dimostra che i due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono sempre separati ed il secondo è l'insieme dei maggioranti, pertanto \(\sup \sigma (f) :=\sup_P s(f;P) \leq \inf_P S(f;P)=:\inf \Sigma (f)\) e l'area che cerchi "vorrebbe essere" uno dei numeri separatori dei due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) (i.e. uno qualunque dei numeri \(l\in [\sup \sigma (f), \inf \Sigma (f)]\))... Ma quale? Non lo puoi stabilire.
Quindi se i tuoi insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono solo separati non puoi dire nulla sulla tua area.
Se, invece, i due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono contigui, allora essi hanno un unico numero separatore perché \(\sup \sigma (f) :=\sup_P s(f;P) = \inf_P S(f;P)=:\inf \Sigma (f)\), ed esso è proprio il comune valore di \(\sup \sigma (f)\) ed \(\inf \Sigma (f)\).
Allora in questo caso hai un modo del tutto "naturale" di definire l'area \(\mathcal{A}\) della regione di piano sotto il grafico, perché puoi prendere l'unico numero separatore dei due insiemi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\), i.e. puoi porre \(\mathcal{A} := \sup \sigma (f) = \inf \Sigma (f)\).
Pertanto dirai che una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se i due insiemi \( \sigma (f)\) (descritto dalle somme inferiori) e \(\inf \Sigma (f)\) (descritto dalle somme superiori) sono contigui, i.e. se \(\sup \sigma (f) = \inf \Sigma (f)\). In tal caso il numero \(\mathcal{A} =\sup \sigma (f) =\inf \Sigma (f)\) lo chiami integrale di \(f\) esteso ad \([a,b]\) e lo denoti col simbolo \(\int_a^b f(t)\ \text{d} t\).
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