Precisione nelle serie di Taylor
Ciao a tutti
ho un esercizio in cui mi si chiede di calcolare la precisione di una serie di Taylor.
Qualcuno mi saprebbe indicare come di ricava la precisione?
ad intuito io direi che prendo la funzione originale e a questa sottraggo il polinomio di Taylor che ho ricavato
ma ovviamente ottengo una funzione di $x$.
L'esercizio mi chiede anche di calcolarla con $x$ compreso in un certo intervallo.
Non so come unire il concetto dell'intervallo dato con questo calcolo. Io credevo che la precisione si calcolasse in un punti preciso
avendo un intervallo ho un precisione che varia da punto a punto all'interno di questo intervallo
è corretto?
grazie
ho un esercizio in cui mi si chiede di calcolare la precisione di una serie di Taylor.
Qualcuno mi saprebbe indicare come di ricava la precisione?
ad intuito io direi che prendo la funzione originale e a questa sottraggo il polinomio di Taylor che ho ricavato
ma ovviamente ottengo una funzione di $x$.
L'esercizio mi chiede anche di calcolarla con $x$ compreso in un certo intervallo.
Non so come unire il concetto dell'intervallo dato con questo calcolo. Io credevo che la precisione si calcolasse in un punti preciso
avendo un intervallo ho un precisione che varia da punto a punto all'interno di questo intervallo
è corretto?
grazie
Risposte
Posta il testo dell'esercizio, forse ti chiede l'errore commesso? in tal caso l'intervallo sulle x servirà per la maggiorazione dell'errore..
Ciao
ecco il testo:
con quale precisione viene approssimata la funzione $f(x) = x root(3)(1+2x) $ e con il suo polinomio di Taylor troncato $h = x + \frac{2}{3} x^{2} $ nell'intervallo $|x|\leq \frac{1}{8}$?
tutto qui, non ho altri dati
ecco il testo:
con quale precisione viene approssimata la funzione $f(x) = x root(3)(1+2x) $ e con il suo polinomio di Taylor troncato $h = x + \frac{2}{3} x^{2} $ nell'intervallo $|x|\leq \frac{1}{8}$?
tutto qui, non ho altri dati
Cerca di usare il resto nella forma di Lagrange in maniera creativa.
Scusa tu sai che se una funzione è sviluppabile in serie di taylor allora $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$ e quindi l'errore commesso sostituendo alla funzione il suo polinomio non è altro che il resto n-esimo. Non ti resta che esprimerlo nella forma di lagrange, maggiorare e vedere per n=2 (il polinomio è del secondo ordine) l'errore che commetti.
grazie per l'aiuto, non mi é ancora tutto chiarissimo ma sto procedendo meglio
ho un dubbio peró. Come mi ha indicato lawrencetb dovrei calcolare il resto di Lagrange in n=2. Ma non dovrei calcolare per n=3? ovvero per il vero e proprio resto?
Oppure lo si calcola per n=2 per vedere quanto differisce il polinomio di Taylor di secondo grado dalla funzione originale?
ho un dubbio peró. Come mi ha indicato lawrencetb dovrei calcolare il resto di Lagrange in n=2. Ma non dovrei calcolare per n=3? ovvero per il vero e proprio resto?
Oppure lo si calcola per n=2 per vedere quanto differisce il polinomio di Taylor di secondo grado dalla funzione originale?
C'è un errore. Se la funzione è Taylor-sviluppabile in [tex]x_0[/tex] si ha
[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/tex]
e basta, senza alcun resto. La formula d'approssimazione di Taylor mediante polinomi è invece la seguente:
[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n (x)[/tex]
Notare che nel primo caso c'è una serie infinita, nel secondo solo una somma finita.
[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/tex]
e basta, senza alcun resto. La formula d'approssimazione di Taylor mediante polinomi è invece la seguente:
[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n (x)[/tex]
Notare che nel primo caso c'è una serie infinita, nel secondo solo una somma finita.
@Richard_Dedekind: Hai ragione, lo avevo notato, ma ho capito cosa intendeva dire 
Si ho sbagliato a scrivere, chiaramente la prima serie si ferma a N grande.
Qualcuno potrebbe rispondere lla mia domanda (l'ultima ovviamente)
Se il polinomio è di ordine n il resto è con la derivata (n+1)esima..
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