Precisazioni sulla teoria
Ciao a tutti. Sto ripassando un po' di teoria per l'orale e ci sono delle cose che mi sono poco chiare(per ora posto solo le 2 che ho sottomano, ma se dovessi avere altri problemi posterò sempre qui, sperando che qualcuno mi aiuti 
)
1)La 1°è sulla definizione che da il mio libro di crescenza
Siano $AsubeXsubeRR$ e sia a $f:X->RR$
Allora $f$ si dice crescente in $A$ se $AA x_1,x_2 in A$ con $x_1>x_2$ si ha $f(x_1)>f(x_2)$
Praticamente qui non riesco a capire perchè bisogna considerare $A$ e non basta considerare solamente $X$.
2)Questa è più una conferma che voglio: in generale è vero che se $EsubeRR$, $barE = EuudelE=dotEuudelE$?($dotE$ è l'insieme degli elementi interni di $E$, non sono riuscito a trovare un pallino più grande.., $delE$ la frontiera di $E$ ed $barE$ la chiusura di $E$)
Grazie
)1)La 1°è sulla definizione che da il mio libro di crescenza
Siano $AsubeXsubeRR$ e sia a $f:X->RR$
Allora $f$ si dice crescente in $A$ se $AA x_1,x_2 in A$ con $x_1>x_2$ si ha $f(x_1)>f(x_2)$
Praticamente qui non riesco a capire perchè bisogna considerare $A$ e non basta considerare solamente $X$.
2)Questa è più una conferma che voglio: in generale è vero che se $EsubeRR$, $barE = EuudelE=dotEuudelE$?($dotE$ è l'insieme degli elementi interni di $E$, non sono riuscito a trovare un pallino più grande.., $delE$ la frontiera di $E$ ed $barE$ la chiusura di $E$)
Grazie
Risposte
1) A me sembra di ricordare
$f " crescente in A se " AAx_1,x_2 in A, x_1>x_2=>f(x_1)>=f(x_2)
Chiedi perché bisogna considerare $A$?
Beh, perché $A$ è quel sottoinsieme
del dominio tale che tutti i suoi elementi
verificano quella proprietà; la definizione
è ben posta, infatti $A sube X$ vuol dire
che $A$ potrebbe essere anche tutto $X$,
come potrebbe essere un sottoinsieme
proprio di $X$. $X$ è il dominio della funzione
$f$, e non è detto che per ogni coppia
di elementi del dominio la definizione
di crescenza è verificata... La proprietà
di crescenza può essere verificata
in tutto il dominio, oppure in un suo sottoinsieme
proprio. In generale, per "compattare" questi
due casi, si scrive $A sube X$.
2) Credo sia corretta.
$f " crescente in A se " AAx_1,x_2 in A, x_1>x_2=>f(x_1)>=f(x_2)
Chiedi perché bisogna considerare $A$?
Beh, perché $A$ è quel sottoinsieme
del dominio tale che tutti i suoi elementi
verificano quella proprietà; la definizione
è ben posta, infatti $A sube X$ vuol dire
che $A$ potrebbe essere anche tutto $X$,
come potrebbe essere un sottoinsieme
proprio di $X$. $X$ è il dominio della funzione
$f$, e non è detto che per ogni coppia
di elementi del dominio la definizione
di crescenza è verificata... La proprietà
di crescenza può essere verificata
in tutto il dominio, oppure in un suo sottoinsieme
proprio. In generale, per "compattare" questi
due casi, si scrive $A sube X$.
2) Credo sia corretta.
"fireball":
1) A me sembra di ricordare
$f " crescente in A se " AAx_1,x_2 in A, x_1>x_2=>f(x_1)>=f(x_2)
Chiedi perché bisogna considerare $A$?
Beh, perché $A$ è quel sottoinsieme
del dominio tale che tutti i suoi elementi
verificano quella proprietà; la definizione
è ben posta, infatti $A sube X$ vuol dire
che $A$ potrebbe essere anche tutto $X$,
come potrebbe essere un sottoinsieme
proprio di $X$. $X$ è il dominio della funzione
$f$, e non è detto che per ogni coppia
di elementi del dominio la definizione
di crescenza è verificata... La proprietà
di crescenza può essere verificata
in tutto il dominio, oppure in un suo sottoinsieme
proprio. In generale, per "compattare" questi
due casi, si scrive $A sube X$.
2) Credo sia corretta.
Ok, grazie. Era un semplice dubbio che desideravo chiarire!
Scusatemi, ma a studiare solo teoria sto un po' delirando. Per esempio, non riesco più a capacitarmi di questa cosa:
perchè nell'enunciato del teorema della derivata della $f$ inversa mi dicono che se $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x)!=0$, allora l'inversa $f^(-1)$ di $f$ è derivabile in $f(x_0)$ e la formula è quella nota di derivata della $f$ inversa, mentre 2 righe più sotto dicono "Il teorema continua a valere se $f'(x_0)=+oo$ oppure $-oo$....oppure se $f'(x_0)=0$
bbu = blowing up brain
perchè nell'enunciato del teorema della derivata della $f$ inversa mi dicono che se $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x)!=0$, allora l'inversa $f^(-1)$ di $f$ è derivabile in $f(x_0)$ e la formula è quella nota di derivata della $f$ inversa, mentre 2 righe più sotto dicono "Il teorema continua a valere se $f'(x_0)=+oo$ oppure $-oo$....oppure se $f'(x_0)=0$
bbu = blowing up brain
Se $f'(x_0)=0$ non vale... Mentre se $f'(x_0)=+-oo$ sì.
"Dust":
mentre 2 righe più sotto dicono "Il teorema continua a valere se $f'(x_0)=+oo$ oppure $-oo$....oppure se $f'(x_0)=0$
quella sopra è la mia opinione
solo quando si è molto "esperti" ci si può anche permettere questo linguaggio
io lo userei con una cautela mostruosissima!
la derivata di una funzione, se c'è, è un numero reale
si può anche provare a parlare di derivata infinita ma, credimi, si rischia di prendere un mare di cantonate se non si è più che smaliziati
io non ne parlerei MAI in un libro di testo standard di analisi 1 (o giù di lì)
Sì Fioravante, diciamo che è un "abuso di notazione"...
La definizione di derivata dice che la derivata
è tale se il famoso limite esiste finito, ma dal momento
che si è soliti indicare con $f'(x_0)$ il limite del
rapporto incrementale, si potrebbe anche dire $f'(x_0)=+oo$...
Ovviamente in questo caso la funzione non è derivabile
nel punto $x_0$, però dato che il limite del rapporto incrementale
esiste ed è uguale a $+oo$, si può scrivere $f'(x_0)=+oo$.
La definizione di derivata dice che la derivata
è tale se il famoso limite esiste finito, ma dal momento
che si è soliti indicare con $f'(x_0)$ il limite del
rapporto incrementale, si potrebbe anche dire $f'(x_0)=+oo$...
Ovviamente in questo caso la funzione non è derivabile
nel punto $x_0$, però dato che il limite del rapporto incrementale
esiste ed è uguale a $+oo$, si può scrivere $f'(x_0)=+oo$.
"Fioravante Patrone":
[quote="Dust"]mentre 2 righe più sotto dicono "Il teorema continua a valere se $f'(x_0)=+oo$ oppure $-oo$....oppure se $f'(x_0)=0$
si può anche provare a parlare di derivata infinita ma, credimi, si rischia di prendere un mare di cantonate se non si è più che smaliziati
io non ne parlerei MAI in un libro di testo standard di analisi 1 (o giù di lì)[/quote]
Infatti, all'inizio del capitolo, quando danno def di derivata dicono che si può scrivere $f'(x_0)=+-oo$ anche se non sarebbe coerente con la definizione che vuole il limite finito...
"fireball":
Se $f'(x_0)=0$ non vale... Mentre se $f'(x_0)=+-oo$ sì.
Quindi questa sarebbe la cosa giusta dal punto di vista della definizione perchè passando al limite $1/(+-oo)$ da $0$ che è finito, mentre $1/0^(+-)$ darebbe un limite non finito e quindi si usa, per così dire, l'estensione della definizione(che ho scritto sopra)?
Ciao, Grazie
"fireball":
Sì Fioravante, diciamo che è un "abuso di notazione"...
La definizione di derivata dice che la derivata
è tale se il famoso limite esiste finito, ma dal momento
che si è soliti indicare con $f'(x_0)$ il limite del
rapporto incrementale, si potrebbe anche dire $f'(x_0)=+oo$...
Ovviamente in questo caso la funzione non è derivabile
nel punto $x_0$, però dato che il limite del rapporto incrementale
esiste ed è uguale a $+oo$, si può scrivere $f'(x_0)=+oo$.
fireball, posso essere d'accordo con te che si tratti di un "abuso di notazione"
tuttavia, ribadisco, nelle trattazioni elementari è bene evitarlo
vorrei far osservare che la funzione che vale -1 per x<0, 0 per x=0 e 1 per x>0, risulta avere il lim del rapporto incrementale uguale a $+oo$ ma non è neanche continua in 0
quindi, il mio consiglio spassionato è: evitare di scrivere $f'(x_0)=+oo$
"Dust":
Infatti, all'inizio del capitolo, quando danno def di derivata dicono che si può scrivere $f'(x_0)=+-oo$ anche se non sarebbe coerente con la definizione che vuole il limite finito...
il boldface è mio
la mia opinione è la seguente:
Alcuni autori per evitare ambiguità terminologiche, distinguono i due casi dicendo che se esiste il limite del rapporto incrementale, tale limite si chiama la derivata di $f$ in $x_(0)$ e se $f'(x_(0))inR$ allora si dice che $f$ è derivabile in $x_(0)$
Non capisco perché parlare di limite del rapporto incrementale che diverge può portare fuori strada considerando che la sua interpretazione geometrica è abbastanza intuitiva.
Non capisco perché parlare di limite del rapporto incrementale che diverge può portare fuori strada considerando che la sua interpretazione geometrica è abbastanza intuitiva.
"Mortimer":
Alcuni autori per evitare ambiguità terminologiche, distinguono i due casi dicendo che se esiste il limite del rapporto incrementale, tale limite si chiama la derivata di $f$ in $x_(0)$ e se $f'(x_(0))inR$ allora si dice che $f$ è derivabile in $x_(0)$
Non capisco perché parlare di limite del rapporto incrementale che diverge può portare fuori strada considerando che la sua interpretazione geometrica è abbastanza intuitiva.
anche se questa è sicuramente una soluzione "formalmente ineccepibile", non sono minimamente d'accordo.
Che sembri intuitiva e' dovuto al fatto che uno trascura certi "dettagli".
Vedi cio' che gia' avevo detto:
"Fioravante Patrone":
vorrei far osservare che la funzione che vale -1 per x<0, 0 per x=0 e 1 per x>0, risulta avere il lim del rapporto incrementale uguale a $+oo$ ma non è neanche continua in 0
poi, se uno e' bravo, non c'e' problema. Gli si puo' gia' spiegare direttamente la teoria delle distribuzioni.
Comunque, e' una mia opinione, naturalmente. Ferma, ma opinione e'
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