Precisazione su limite della somma di due funzioni
Buongiorno a tutti.
La domanda è in se molto banale. Sto ripassando argomenti vecchi e basilari con l'intento di rivederli con il massimo del rigore e della precisione.
Siano $f: dom_f \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $g: dom_g \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che $\lim_{x \to x_0} f(x)=l \in \mathbb{R}$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)=m \in \mathbb{R}$.
Allora, supponendo che $dom_{f+g}=dom_f \cap dom_g \ne \emptyset$, risulta che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$.
Ecco, la domanda è: le ipotesi date sono sufficienti per concludere che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$?
Secondo me no, e spiego perché:
Per ipotesi $\lim_{x \to x_0} f(x)=l$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)=m$, e quindi ovviamente deve essere per definizione $x_0 \in (dom_f)'$ e $x_0 \in (dom_g)'$ (si intendono gli insiemi derivati ovviamente).
Tuttavia è noto che in generale $x_0 \in (dom_f)' \cap (dom_g)'$ NON implica che $x_0 \in (dom_f \cap \dom_g)'$.
Dunque in generale, senza supporre che $x_0 \in (dom_f \cap \dom_g)'$, non si può concludere che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$ perché tale limite potrebbe non avere senso, in quanto $x_0$ potrebbe non essere un punto di accumulazione della funzione somma $f+g$.
Identico ragionamento si applica anche alle altre regole sull'algebra dei limiti (somme, prodotti, quozienti) (più in generale si applica anche a limiti di funzioni $f: X \to \mathbb{R}$ con $X$ spazio metrico o topologico generico).
Il ragionamento è corretto?
La domanda è in se molto banale. Sto ripassando argomenti vecchi e basilari con l'intento di rivederli con il massimo del rigore e della precisione.
Siano $f: dom_f \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $g: dom_g \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che $\lim_{x \to x_0} f(x)=l \in \mathbb{R}$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)=m \in \mathbb{R}$.
Allora, supponendo che $dom_{f+g}=dom_f \cap dom_g \ne \emptyset$, risulta che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$.
Ecco, la domanda è: le ipotesi date sono sufficienti per concludere che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$?
Secondo me no, e spiego perché:
Per ipotesi $\lim_{x \to x_0} f(x)=l$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)=m$, e quindi ovviamente deve essere per definizione $x_0 \in (dom_f)'$ e $x_0 \in (dom_g)'$ (si intendono gli insiemi derivati ovviamente).
Tuttavia è noto che in generale $x_0 \in (dom_f)' \cap (dom_g)'$ NON implica che $x_0 \in (dom_f \cap \dom_g)'$.
Dunque in generale, senza supporre che $x_0 \in (dom_f \cap \dom_g)'$, non si può concludere che $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=l+m$ perché tale limite potrebbe non avere senso, in quanto $x_0$ potrebbe non essere un punto di accumulazione della funzione somma $f+g$.
Identico ragionamento si applica anche alle altre regole sull'algebra dei limiti (somme, prodotti, quozienti) (più in generale si applica anche a limiti di funzioni $f: X \to \mathbb{R}$ con $X$ spazio metrico o topologico generico).
Il ragionamento è corretto?
Risposte
Certo.
Puoi facilmente costruire controesempi.
Proprio per i motivi che hai elencato usualmente si assume $"Dom"f = "Dom"g$ in tutti i teoremi sulle operazioni coi limiti.
Puoi facilmente costruire controesempi.
Proprio per i motivi che hai elencato usualmente si assume $"Dom"f = "Dom"g$ in tutti i teoremi sulle operazioni coi limiti.
Grazie mille 
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