Potreste controllare se questa Z-antitrasformata di una successione definita per ricorrenza è giusta?

[Warioss]

Il testo dell'esercizio è :


Quello che mi indispone di questo esercizio è quell' $a_n$ al secondo membro , negli esercizi di questo tipo in cui , data una successione definita per ricorrenza, bisogna risalire attraverso le Z-trasformate e Z-antitrasformate al termine generale della serie , in genere ho ambo i due membri del passo ricorsivo definiti in termini di $ x_n $ , è la prima volta che mi compare uguagliato ad un'altra successione $a_n$.

Allora io ho pensato di agire in questo modo : Prima considero $a_n=0$ e poi $a_n=n/(2^n)$

Prima Ipotesi : $a_n=0$
•Z-Trasformo il Primo membro
$ Z_n[x(n + 1) - 2 x(n)](z) = z (Z_n[x(n)](z)) - 2 (Z_n[x(n)](z)) - x(0) z = Z_n[x(n)](z) * (z-2) $
•Z-Trasformo il Secondo Membro
$ Z_n[0](z) = 0 $
•Ricavo La Z-Trasformata
$Z_n[x(n)](z) * (z-2) = 0 => Z_n[x(n)](z) = 0 $
•Z-Antitrasformo per ottenere $x_n$
$Z_x^(-1)[0](n) = 0 $

Ripeto gli stessi passaggi nella
Seconda Ipotesi : $a_n=n/(2^n)$
•Z-Trasformo il Primo membro
$ Z_n[x(n + 1) - 2 x(n)](z) = z (Z_n[x(n)](z)) - 2 (Z_n[x(n)](z)) - x(0) z = Z_n[x(n)](z) * (z-2) $
•Z-Trasformo il Secondo Membro
$ Z_n[2^(-n) n](z) = (2 z)/(1 - 2 z)^2 $
•Ricavo La Z-Trasformata
$Z_n[x(n)](z) * (z-2) = (2 z)/(1 - 2 z)^2 => Z_n[x(n)](z) = (2 z)/((1 - 2 z)^2(z-2)) $
•Z-Antitrasformo per ottenere $x_n$
$ Z_z^(-1)[(2 z)/((1 - 2 z)^2 (z - 2))](n) = 1/9 2^(1 - n) (-3 n + 4^n - 1) $

Allora concludo che la $ x_n$ cercata è :
$ x_n = { (if n=dispari => 0 ),( otherwise => 1/9 2^(1 - n) (-3 n + 4^n - 1) ):} $

E' corretto?
Grazie mille in anticipo

[gugo82]

No, non è corretto.

Per trovare la trasformata $A$ della successione $(a_n)$, prova ad usare la definizione di trasformata... Penso sia la strada più veloce.

[Warioss]

"gugo82":No, non è corretto.

Per trovare la trasformata $A$ della successione $(a_n)$, prova ad usare la definizione di trasformata... Penso sia la strada più veloce.

Ok , ci provo!

•Z-Trasformo il Primo membro
$ Z_n[x(n + 1) - 2 x(n)](z) = z (Z_n[x(n)](z)) - 2 (Z_n[x(n)](z)) - x(0) z = Z_n[x(n)](z) * (z-2) $

•Z-Trasformo il Secondo Membro
$ Z_n[a_n](z) = ∑ (a_n)/(z^n) = ∑(a_(2n))/(z^(2n))= ∑ 2*n*(2^(-2))^n * (z^(-2))^n = ∑ 2*n*((2z)^(-2))^n $
Si osservi ora che :
$ d/dz ((2z)^(-2))^n = - (2^(1 - 2·n)·n·(z^-2)^(n))/z $
Pertanto posso continuare così :
$ ∑ 2*n*(2)^(-2n) * (z^(-2))^n = -z ∑ - (n*2^(1-2n) * (z^(-2))^n)/z = -z ∑ d/dz ((2·z)^(-2))^n = $
$ = -z d/dz ∑ ((2·z)^(-2))^n $
A questo punto ci accorgiamo di avere la serie geometrica allora si procede così :
$ -z*d/dz(1/(1-(2·z)^(-2))) = (8·z^2)/(4·z^2 - 1)^2 $

E' corretto fin qui? In caso affermativo procedo con la restante parte dell'esercizio

[Warioss]

Procedo :

•Trovo La Z-trasformata :
$Z_n[x(n)](z) * (z-2) = (8·z^2)/(4·z^2 - 1)^2 => Z_n[x(n)](z) = (8·z^2)/((4·z^2 - 1)^2*(z-2)) $

•Z-Antitrasformo l'espressione precedente :
$ x_n = 16/225 * 2^n *u_(n)+ 1/25 * (-1/2)^n * u_(n)- 1/5 * n * (-1/2)^n *u_(n)-1/9*(1/2)^n * u_(n)-1/3 * n * (1/2)^n*u_(n) $

dove

$u_n $ è la funzione gradino unitario che vale 1 per $ n>=0$ e 0 per $n<0$ .

Tutto giusto, risultato compreso?

P.S.: Anche se Immagino sia giusto perché :