Potete controllarmi questo integrale triplo?
$\intintint_{V} \ 1/(x^2 + y^2 + z^2) dx\dy\dz$ con $\V={ z^2<=x^2 + y^2 <= 4z^2 , 1<= z + sqrt(x^2 + y^2)<= 3} $
Ragionando sullo svolgimento di questo integrale ho pensato di farlo per strati. Dalla prima disequazione, posso intuire che $\z>=0$ , in quanto $\ z^2<=x^2 + y^2 <= 4z^2 => z<=sqrt(x^2 + y^2)<= 4z$ , poiché dovendo essere la radice un valore positivo, allora anche $\z$ deve essere positivo! Quindi ponendo $\ rho=(x^2 + y^2)$ per il cambio in coordinate polari, avrò
$\ rho in [z, 2z] $ e $\ vartheta in [0, 2pi] $ . Ora il problema è come determinare gli estremi di $\ z$ !
Ho pensato di fare così, $\1<= z + z<= 3$ se $\ z= sqrt(x^2 + y^2)$ (che ottengo dalla prima disequazione dell' insieme, e poi $\ 1<= z + 2z<= 3$ se $\ 2z= sqrt(x^2 + y^2)$ (che ottengo sempre dalla prima disequazione dell' insieme)! Ora però dalla prima disequazione che ho impostato avrò $\ z in [1/2 , 3/2]$ e dall' altra $\ z in [1/3 , 1]$, quindi come estremi di $\ z$ devo considerare $\ z in [1/2 , 1]$ (ovvero la loro intersezione)? In tal caso l' integrale mi diventa
$\int_{1/2}^{1}dz int _{z}^{2z} drho int_{0} ^{2pi} dvartheta (1/(rho^2 + z^2)) $
Secondo voi è giusta questa impostazione dell' integrale? Poi i conti mi risultano agevoli!
Ragionando sullo svolgimento di questo integrale ho pensato di farlo per strati. Dalla prima disequazione, posso intuire che $\z>=0$ , in quanto $\ z^2<=x^2 + y^2 <= 4z^2 => z<=sqrt(x^2 + y^2)<= 4z$ , poiché dovendo essere la radice un valore positivo, allora anche $\z$ deve essere positivo! Quindi ponendo $\ rho=(x^2 + y^2)$ per il cambio in coordinate polari, avrò
$\ rho in [z, 2z] $ e $\ vartheta in [0, 2pi] $ . Ora il problema è come determinare gli estremi di $\ z$ !
Ho pensato di fare così, $\1<= z + z<= 3$ se $\ z= sqrt(x^2 + y^2)$ (che ottengo dalla prima disequazione dell' insieme, e poi $\ 1<= z + 2z<= 3$ se $\ 2z= sqrt(x^2 + y^2)$ (che ottengo sempre dalla prima disequazione dell' insieme)! Ora però dalla prima disequazione che ho impostato avrò $\ z in [1/2 , 3/2]$ e dall' altra $\ z in [1/3 , 1]$, quindi come estremi di $\ z$ devo considerare $\ z in [1/2 , 1]$ (ovvero la loro intersezione)? In tal caso l' integrale mi diventa
$\int_{1/2}^{1}dz int _{z}^{2z} drho int_{0} ^{2pi} dvartheta (1/(rho^2 + z^2)) $
Secondo voi è giusta questa impostazione dell' integrale? Poi i conti mi risultano agevoli!
Risposte
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