Potete aiutarmi per favore con questa Serie di funzioni?
$sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (ln n + 2^n)/((3x)^n)$
Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme della
seguente serie di funzioni.
Allora io ho notato che questa è una serie di potenze sostituendo $y^n = 1/(3x)^n$
Ora dovrei applicare uno dei due criteri per conoscere il raggio di convergenza. Ho provato a calcolarmo e mi viene uguale a $1/2$
Anche voi vi trovate così? Io ho qualce dubbio! (Se non è così mi aiutate a risolvere quel limite?)
E quindi ho detto che la serie converge assolutamente in \(]-1/2 , 1/2[\)
A questo punto devo vedere cosa accade negli estremi? Cioè se
$y=-1/2$ si ha che $sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (ln n + 2^n) * (-1/2)^n$
Come risolvo questa serie numerica? Con quale criterio? Ho provato con quello della radice e mi viene 1 e ciò non è giusto! Mi fate vedere passo passo come svolgete questa serie e se vi viene convergente o divergente?
POi
Se $y=1/2$ la serie numerica $sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n ( ln n + 2^n) * (1/2)^n$ converge o diverge? (anche qui mi mostrate come la risolvete?
Alla fine poi gli intervalli si cambiano in base alla sostituzione effettuata all'inizio!
Vi prego di aiutarmi, ve ne sarei immensamente grato!!! Grazie in anticipo!
Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme della
seguente serie di funzioni.
Allora io ho notato che questa è una serie di potenze sostituendo $y^n = 1/(3x)^n$
Ora dovrei applicare uno dei due criteri per conoscere il raggio di convergenza. Ho provato a calcolarmo e mi viene uguale a $1/2$
Anche voi vi trovate così? Io ho qualce dubbio! (Se non è così mi aiutate a risolvere quel limite?)
E quindi ho detto che la serie converge assolutamente in \(]-1/2 , 1/2[\)
A questo punto devo vedere cosa accade negli estremi? Cioè se
$y=-1/2$ si ha che $sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (ln n + 2^n) * (-1/2)^n$
Come risolvo questa serie numerica? Con quale criterio? Ho provato con quello della radice e mi viene 1 e ciò non è giusto! Mi fate vedere passo passo come svolgete questa serie e se vi viene convergente o divergente?
POi
Se $y=1/2$ la serie numerica $sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n ( ln n + 2^n) * (1/2)^n$ converge o diverge? (anche qui mi mostrate come la risolvete?
Alla fine poi gli intervalli si cambiano in base alla sostituzione effettuata all'inizio!
Vi prego di aiutarmi, ve ne sarei immensamente grato!!! Grazie in anticipo!
Risposte
Vediamo: io porrei $-1/{3x}=t$ in modo da avere la serie
$\sum_{n=1}^\infty (\ln n+2^n) t^n$ (credo che la somma parta da 1, altrimenti c'è qualcosa che non torna).
Il raggio di convergenza è esattamente $1/2$, pertanto la serie converge (come?) per $t\in(-1/2, 1/2)$. ma allora
$-1/2\le -1/{3x}\le 1/2$ e quindi $-2/3 \le x\le 2/3$ è l'intervallo di convergenza corretto.
Pertanto devi modificare il resto.
$\sum_{n=1}^\infty (\ln n+2^n) t^n$ (credo che la somma parta da 1, altrimenti c'è qualcosa che non torna).
Il raggio di convergenza è esattamente $1/2$, pertanto la serie converge (come?) per $t\in(-1/2, 1/2)$. ma allora
$-1/2\le -1/{3x}\le 1/2$ e quindi $-2/3 \le x\le 2/3$ è l'intervallo di convergenza corretto.
Pertanto devi modificare il resto.
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