Potete aiutarmi a calcolare questo limite?
Potete aiutarmi a calcolare il seguente limite senza usare la formula di Taylor né il teorema di De L'Hospital?
$ lim_{x\to\0}[(1+x)^a-a*x-1]/ x^2$
dove $a$ è un qualsiasi numero reale diverso da 0.
$ lim_{x\to\0}[(1+x)^a-a*x-1]/ x^2$
dove $a$ è un qualsiasi numero reale diverso da 0.
Risposte
Il risultato dovrebbe essere $(a(a-1))/(2!)$, che non sarebbe altro che il coefficiente del termine in $x^2$ del polinomio di Taylor (che però tu nn puoi usare)....
Altri metodi... magari usare lo sviluppo del binomio di Newton in qualche modo (che al momento nn mi viene in mente)?!
Altri metodi... magari usare lo sviluppo del binomio di Newton in qualche modo (che al momento nn mi viene in mente)?!
So che il risultato è $(a*(a-1))/2$ e so che è il coefficiente del termine in $x^2$ del polinomio di Taylor e so che, usando il teorema di De L'Hospital o la formula di Taylor, il limite si calcola molto facilmente. Però desidero sapere se esiste un modo per ottenere il valore del limite usando solo i limiti notevoli.
Immagino ti debba ricondurre a questo in qualche modo:
$lim_(x->0)((x+1)^\alpha-1)/x=\alpha$
$lim_(x->0)((x+1)^\alpha-1)/x=\alpha$
"lordmarcho":
Immagino ti debba ricondurre a questo in qualche modo:
$lim_(x->0)(x+1)^\alpha-1=\alpha$
Attento il limite notevole non è quelo che hai scritto te, ma questo:
$lim_(x->0)((x+1)^\alpha-1)/x=\alpha$. Riportateli bene i limiti per evitare di far sbagliare chi chiede una mano per lo svolgimento degli esercizi. Il limite che hai scritto te $lim_(x->0)(x+1)^\alpha-1=\alpha$ correggilo così: $lim_(x->0)(x+1)^\alpha-1=0$
Ciao.
@ v.tondi: ti ringrazio.. corretto!! 
lord grazie per il suggerimento, però anche usando il limite notevole da te indicato non riesco a calcolare il mio limite. Qualcuno può aiutarmi? Spero di sì. Provateci e fatemi sapere.
Se $a$ fosse un numero naturale $X^a-Y^a=(X-Y)*(X^(a-1)+X^(a-2)*Y + ... +X*Y^(a-2) +Y^(a-1))$ per cui $(1+x)^a-1=(1+x-1)*[(1+x)^(a-1)+(1+x)^(a-2)+...+1]$, ma non so se neppure questo possa essere utile in qualche modo
Se $a$ è un numero naturale, il problema non esiste perchè è sufficiente utilizzare la formula del binomio di Newton, il problema invece sussiste se $a$ è un numero reale qualsiasi a meno che si utilizzi il teorema di De L'Hospital o lo sviluppo in serie di Taylor, però io voglio calcolare il limite in altro modo.
Secondo me (come Angelo sa per via privata) sapendo a posteriori che sopra, per sviluppo di Taylor, deve dominare il termine di grado 2 molto difficilmente si riesce a operare solo con i limiti notevoli: se è quel termine che controlla il numeratore in un modo o nell'altro deve uscire allo scoperto... ma non vedo un modo diverso dallo sviluppo di Taylor (o da de l'Hospital).
Il teorema è di de l'Hôpital, non di de l'Hospital 
Molti autori lo scrivono come io l'ho scritto, compresi quelli su cui ho studiato da studente.
Questa è la tua opinione, su molti testi si legge "de l'Hospital" (ad esempio ho sottomano il libro di Antonio Avantaggiati dove è scritto così). Forse è una versione italianizzata del nome, non saprei, ma comunque non è un errore.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Luca.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Luca.
"Paolo90":
C'è un circonflesso sulla o. Ma quell'accento circonflesso vuol semplicemente dire che è scomparsa la s e sparendo ha lasciato un segno (si scriveva L'Hospital in una grafia antica).
Vedasi qui per una discussione sulla pronuncia (da cui è tratto l'estratto di cui sopra).
"Luca.Lussardi":
Secondo me (come Angelo sa per via privata) sapendo a posteriori che sopra, per sviluppo di Taylor, deve dominare il termine di grado 2 molto difficilmente si riesce a operare solo con i limiti notevoli: se è quel termine che controlla il numeratore in un modo o nell'altro deve uscire allo scoperto... ma non vedo un modo diverso dallo sviluppo di Taylor (o da de l'Hospital).
Provo a rendere qualitativo il discorso di Luca.
Da Taylor sai che [tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1 = \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex] quindi alla fin fine devi usare questo fatto in qualche modo, ossia "devi barare".
Il modo più semplice per sfruttare questa informazione è far vedere che [tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1 -\frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2 =\text{o}(x^2)$[/tex], ovvero che per fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex] la disuguaglianza:
[tex]$|(1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2|\leq \varepsilon x^2$[/tex]
sussiste almeno in un intorno [tex]$]-\delta ,\delta [$[/tex] di [tex]$0$[/tex].
Questo, a meno di complicazioni formali, si fa in modo abbastanza semplice: innanzitutto studia la funzione [tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2$[/tex] (derivando un po' si vede subito che succede in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex]... Ah, occhio ad [tex]$\alpha$[/tex]!).
Fatto ciò ti accorgerai che, ad esempio per [tex]$1<\alpha< 2$[/tex], a sinistra di [tex]$0$[/tex] è sempre verificata la disuguaglianza:
[tex]$-\varepsilon x^2 \leq (1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2$[/tex]
e che devi lavorare solamente sulla disuguaglianza opposta:
[tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2 \leq \varepsilon x^2$[/tex]
per determinare [tex]$\delta$[/tex]
La funzione ausiliaria [tex]$f(x):= (1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2-\varepsilon x^2$[/tex] ha derivate:
[tex]$f^\prime (x)=\alpha (1+x)^{\alpha -1} -\alpha -\alpha (\alpha -1) x-2\varepsilon x$[/tex],
[tex]$f^{\prime \prime} (x)= \alpha (\alpha -1) (1+x)^{\alpha-2} -\alpha (\alpha -1) -2\varepsilon$[/tex],
[tex]$f^{\prime \prime \prime} (x)= \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) (1+x)^{\alpha -3}$[/tex];
in [tex]$0$[/tex] si ha [tex]$f^{\prime \prime \prime} (0)=\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)<0$[/tex], quindi è [tex]$f^{\prime \prime \prime} (x)<0$[/tex] in un intorno sinistro [tex]$]-\delta_1 ,0]$[/tex] e perciò [tex]$f^{\prime \prime} (x)$[/tex] è decrescente in [tex]$]-\delta_1 ,0]$[/tex]. Ne viene che [tex]$f^{\prime \prime}$[/tex] prende il suo minimo (relativamente a [tex]$]-\delta_1 ,0]$[/tex]) in [tex]$0$[/tex] e tale minimo è [tex]$f^{\prime \prime} (0)=-2\varepsilon <0$[/tex]: pertanto (permanenza del segno) è possibile determinare un [tex]$\delta_2\leq \delta_1$[/tex] in modo che [tex]$f^{\prime \prime} (x)<0$[/tex] in [tex]$]-\delta_2,0]$[/tex]. Da ciò segue che [tex]$f^{\prime} (x)$[/tex] è decrescente in [tex]$]-\delta_2,0]$[/tex] quindi prende il suo minimo in [tex]$0$[/tex] e tale minimo è [tex]$f^{\prime}(0)=0$[/tex]; perciò [tex]$f^{\prime}(x)\geq 0$[/tex] in [tex]$]-\delta_2,0]$[/tex] e conseguentemente la funzione [tex]$f(x)$[/tex] è crescente in [tex]$]-\delta_2,0]$[/tex]. Visto che [tex]$f(0)=0$[/tex] e che [tex]$f$[/tex] è crescente, si ha certamente [tex]$f(x)\leq 0$[/tex] ossia:
[tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2 \leq \varepsilon x^2$[/tex]
in [tex]$]-\delta_2,0]$[/tex].
Ripetendo il ragionamento (però con l'altra disuguaglianza) a destra di [tex]$0$[/tex] si determina un [tex]$\delta_2^{\prime} >0$[/tex] tale che:
[tex]$-\varepsilon x^2 \leq (1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2$[/tex]
in [tex]$[0,\delta_2^\prime [$[/tex].
Perciò ponendo [tex]$\delta :=\min \{\delta_2, \delta_2^\prime \}$[/tex] si ha:
[tex]$|(1+x)^\alpha -\alpha x-1- \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2|\leq \varepsilon x^2$[/tex] in [tex]$]-\delta ,\delta[$[/tex].
Ne viene che [tex]$(1+x)^\alpha -\alpha x-1=\frac{\alpha (\alpha -1)}{2} x^2 +\text{o}(x^2)$[/tex] quindi il tuo limite è risolto per [tex]$1<\alpha <2$[/tex].
Per altri valori di [tex]$\alpha$[/tex] si ragiona in maniera del tutto analoga.
Buon divertimento.
Esatto, e Gugo82 ha usato una felice espressione che è barare (e lo ha fatto alla grande, perchè uno già sa dove vuole arrivare...)
Morale della favola: usa pure Taylor o de l'Hospital, nessuno te lo vieta.
Morale della favola: usa pure Taylor o de l'Hospital, nessuno te lo vieta.
"Luca.Lussardi":
Gugo82 ha usato una felice espressione che è barare (e lo ha fatto alla grande [...])
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