Potenziale Vettore e problema di Esistenza, sistema di PDE

[lordb]

Allora,
prima di venire al dunque un paio di premesse necessarie:

sia $A$ aperto di $RR^n$ con $n in NN, n>=2$, sia $vec B:A->RR^n, vec B in C_(RR^n)^(1)$.

$vec B$ si dice solenoidale se $AA Sigma$ sottovarietà $n-1text{ dimensionale}$ di $RR^n$ Gaussiana;

$oint_(Sigma)ds_2=0$.

Ovviamente per il teorema della divergenza:

$vec B text{ solenoidale} => vec B text{ indivergente}$.

Se $A$ è un semplice connesso allora vale che $vec B text{ indivergente} + text{semplice connessione di A} => vec B text{ solenoidale}$.

Ora, leggo che se $vec B text{ solenoidale} <=> EE vec A:A->RR^n | vec B = vec nabla ^^ vec A$.

Dunque si ha che:

$0=oint_(Sigma)ds_2=oint_(Sigma)ds_2=intint...int_(V|partial^+V=Sigma) dx_1dx_2...dx_n=0$

Mi sembra che non esista nessuna relazione tra le diverse coppie : campo (conservativo/irrotazionale) e (solenoidale/indivergente).
Inteso che il fatto di sapere che un campo sia conservativo o irrotazionale non mi dice nulla sul fatto che sia solenoidale o indivergente (e viceversa).

Ovvero esistono campi vettoriali conservativi non solenoidali e viceversa.

Inoltre $vec A$ non è univocamente determinato, l'insieme dei potenziali vettori di $vec B$ è dato al variare di una $psi:A->RR, psi in C_(RR)^(1)$, ed è ${vec A + vec nabla psi}$.

Infatti: $vec B = vec nabla ^^ (vec A + vec nabla psi) = vec nabla ^^ vec A + vec nabla ^^ vec nabla psi = vec nabla ^^ vec A = vec B$.

La scelta di $psi$ viene chiamata gauge.

Ora il mio dubbio principale è riguardo il teorema dell'esistenza di $vec A$ come condizione necessaria sufficiente.

Questo vorrebbe dire che il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali:

${(B_x=(partialA_z)/(partialy)-(partialA_y)/(partialz)),(B_y=(partialA_x)/(partialz)-(partialA_z)/(partialx)),(B_z=(partialA_y)/(partialx)-(partialA_x)/(partialy)):}$

dovrebbe essere sempre risolvibile indipendetemente dal dominio $A$ se e solo se il campo è solenoidale.

Cosa mi sapete dire a riguardo ?

Grazie in anticipo

[lordb]

Up

E' impressionante come io trovi sempre questo teorema sprovvisto di dimostrazione...

Un'idea ?

[ciampax]

Io credo che manchi l'ipotesi di dominio semplicemente connesso: del resto quella condizione necessaria e sufficiente che hai scritto, nella formulazione che hai dato in forma di sistema di PDE's alla fine, equivale al Lemma di Poincaré (forma chiusa implica esatta).

[lordb]

Ciao e grazie per la risposta,

per quanto mi risulta si dovrebbe avere che :

$vec B text{ solenoidale} <=> EE vec A text{ potenziale vettore}$

$vec B text{ indivergente + semplice connessione del dominio} => vec B text{ solenoidale} <=> EE vec A text{ potenziale vettore}$

Non mi è ben chiaro il riferimento al lemma di Poicarè per le forme differenziali.
Infatti per utilizzarlo oltre alla condizione topologica di avere un dominio stellato, dovrei avere la chiusura della forma differenziale $AA i,jin{1,2,3} i!=j$ $ D_iomega_j = D_jomega_i$ per poter affermare che sia esatta.

In tal caso dovrei avere quindi tutte le componenti del campo $vec B$ nulle (ed ovviamente invece abbiamo $vec B!=vec 0$).


Cosa mi sfugge ?

[ciampax]

Fai le derivate seconde miste delle $B$ e vedi cosa ti viene fuori.
Irrotazionalità, indivergenza (sai che è la prima volta che sento questo termine? Eppure scopro che è corretto!) e solenoidalità sono tutte condizioni che si possono riportare alla esattezza/chiusura di certe forme differenziali che si associano naturalmente ai campi (è un capitolo che riguarda il calcolo differenziale esterno e che collega, in maniera quasi magica, gli operatori $\nabla$ nelle varie salse con l'operatore di derivazione esterna di Cartan $d$.... ma non mi dilungo che se no poi non la finiamo più. Se vuoi posso trovarti delle fonti!).

In ogni caso mi pare che quello che dici sia corretto: l'enunciato generale del Lemma di Poincaré, in ogni caso (quando si parla di forme) si applica a domini semplicemente connessi (ed addirittura ci sono certe formulazioni relative a gruppi di coomologia su varietà anche "brutte"... ma di nuovo evito di dilungarmi se no non ne usciamo vivi).

[lordb]

"ciampax":
Irrotazionalità, indivergenza (sai che è la prima volta che sento questo termine? Eppure scopro che è corretto!)

E' questo il bello, non si finisce mai di imparare . (Già che ci sono metto in evidenza che sul web viene spessissimo usato il termine $text{campo solenoidale}$ come sinonimo di $text{campo indivergente}$, quando invece è manifesto che non è vero! Infatti è immediato che un campo elettrostatico nel vuoto (inteso lontano dalle cariche) è indivergente ma non solenoidale).

"ciampax":
(è un capitolo che riguarda il calcolo differenziale esterno e che collega, in maniera quasi magica, gli operatori $\nabla$ nelle varie salse con l'operatore di derivazione esterna di Cartan $d$.... ma non mi dilungo che se no poi non la finiamo più. Se vuoi posso trovarti delle fonti!).

Sì per favore! Ho sempre sospettato una cosa del genere, purtroppo (per insufficienza di ore nei corsi di Analisi 2 ad Ingegneria) abbiamo affrontato solo i teoremi di "dualità" tra le condizioni delle $1-text{forme}$ (forme differenziali lineari) e quelle dei campi vettoriali univocamente associati.
La teoria riguardo le $m-text{forme}$ l'abbiamo fatta (inevitabilmente) un po' troppo velocemente...

[ciampax]

Oki, ti trovo qualcosa di utile e comodo da leggere (soprattutto) e ti invio un PM.

[lordb]

Muchas gracias