Potenziale scalare di una forma differenziale esatta

[Nausicaa912]

ho tale forma differenziale
$f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y)$
essa vabè è esatta su $RRR^3$
posso considerare un suo pot. scalare... me lo calcolo così
$U_x=X$
Quando vado ad integrare rispetto a x, viene

$U=xy+xz+g(y,z)$ ho fatto bene a mettere quella $g(y,z)$? Perché non l'ho mai fatto con tre variabili... e perché scrivere così, è diverso dallo scrivere
$U=xy+xz+g(y)+g(z)$? Oppure è la stessa cosa?

[enr87]

la prima versione va bene perchè tieni conto del fatto che una funzione in yz è costante rispetto ad x.
per la seconda versione, con g(y) + g(z) stai prendendo un insieme di funzioni "contenuto" in g(x,y), ovvero un caso particolare. in generale non riesci a trovare una soluzione di quel tipo.

[Nausicaa912]

mh e perché è un insieme di funzioni contenute in g(x,y)? non mi è chiara questa cosa... Grazie mille comunque (:

[enr87]

bhè è intuitivo: prendi una qualunque funzione f(x) e una qualunque funzione g(y). la somma h(x,y) = g(y) + f(x) è una funzione di due variabili, spero che di questo tu ne sia convinta.
se adesso pongo h(x,y) = xy, tanto per fare un esempio, come fai ad ottenere due funzioni, una della sola x e un'altra della sola y, tali che g(y) + f(x) = h(x,y)? non puoi..

[Nausicaa912]

ah ok... quindi g(y)+g(z) è un insieme di funzioni contenute in g(y,z), non in g(x,y)... hai sbagliato a scrivere, giusto? Altrimenti non ho capito nulla
era quella x che non capivo cosa ci azzeccasse! Per il resto, mi è chiaro!

[enr87]

sì ho sbagliato a scrivere scusa, hai capito il senso