Potenziale forme differenziali

[MaledettaAnalisiXD]

Stabilire se nel dominio la forma differenziale è esatta e in tal caso calcolarne il potenziale.

$f(x,y)=(-1/(2x^2)+lny)dx + (-1/y^2+x/y+lny+1)dy$

$D={(x,y) in RR: x>0, y>0}$

_______

1) $df_1/dy=df_2/dx=1/y$ dunque è chiusa

2) dato che è chiusa e che il dominio è il primo quadrante, assi esclusi. (quindi una curva chiusa al suo interno può essere ristretta con continuità fino ad un punto) posso dire che è esatta.

3) Calcolo del potenziale:
allora devo trovare la funzione $U(x,y)$ tale che: $dU/dx=(-1/(2x^2)+lny)$ e $dU/dy=(-1/y^2+x/y+lny+1)$

$int (-1/(2x^2)+lny) dx = 1/(2x) + xlny + C(y)$

e ora devo imporre che:

$d/dy[1/(2x) + xlny + C(y)] = x/y+C'(y) =-1/y^2+x/y+lny+1 $

$C'(y)=-1/y^2+lny+1$

$C(y)= int-1/y^2+lny+1 dy = 1/y + y lny - y + y = 1/y + y ln(y) $

Dunque

$U(x,y)= 1/(2x) + xlny + 1/y + y lny$


dato che derivando U in x e y non mi tornano devo aver sbagliato qualcosa....

[MaledettaAnalisiXD]

"TeM":[quote="MaledettaAnalisiXD"]$D={(x,y) in RR: x>0, y>0}$

Sicuro? Io direi ... $D={(x,y) in RR^2 : x\ne 0, y>0}$ che non è un insieme semplicemente connesso e quindi l'esistenza di una primitiva per \(f\) non è garantita a priori, va ricercata per via diretta.

"MaledettaAnalisiXD":dato che derivando U in x e y non mi tornano devo aver sbagliato qualcosa...

Riprova a derivare, la funzione che è hai trovato è proprio una primitiva di \(f\), in quanto \(dU=f\) in \(D\).[/quote]

il dominio fa parte del testo non l'ho deciso io


Gia che faccio $dU/dx=-1/(2x^2) != -1/(2x^2)+lny$

[MaledettaAnalisiXD]

ahhh ok mi ero sbagliato nel fare la derivata :/

però non ho ben capito l'obiezione che hai fatto quando ho detto che è semplicemente connesso...
cioè i dominio come lo hai detto tu non lo è perche è come se avessi due quadrati e scegliendo un punto di un quadrato e uno dell'altro non potrei unirli con un segmento senza uscire fuori dal dominio.

[MaledettaAnalisiXD]

ah ok meglio cosi

GRAZIE