Potenziale di un campo vettoriale
Scusate , oggi ho già postato un esercizio sui campi vettoriali . Vorrei farvi una domanda più dettagliata sul potenziale : c'è un modo standard di calcolarlo ??
Per esempio se ho questo campo : $F(x,y)= ((9x)/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2))$ come calcolo il potenziale ? non voglio i passaggi ma solo indicazioni riguardo al modo corretto di calcolare il potenziale.
Ps : ho già verificato che è irrotazionale e conservativo.
Grazie mille
Per esempio se ho questo campo : $F(x,y)= ((9x)/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2))$ come calcolo il potenziale ? non voglio i passaggi ma solo indicazioni riguardo al modo corretto di calcolare il potenziale.
Ps : ho già verificato che è irrotazionale e conservativo.
Grazie mille
Risposte
Un modo può essere questo. Se G(x,y) è il potenziale, deve essere $(delG)/(delx)=(9x)/(9x^2+y^2)$ e $(delG)/(dely)=(y)/(9x^2+y^2)$.
Per trovare G puoi integrare la prima uguaglianza ripetto a x: $G = \int (9x)/(9x^2+y^2)dx$, alla cui soluzione dovrai aggiungere un $c(y)$, cioè una funzione della sola variabile y. Tale $c(y)$ si determina sfruttando la seconda uguaglianza.
Per trovare G puoi integrare la prima uguaglianza ripetto a x: $G = \int (9x)/(9x^2+y^2)dx$, alla cui soluzione dovrai aggiungere un $c(y)$, cioè una funzione della sola variabile y. Tale $c(y)$ si determina sfruttando la seconda uguaglianza.
Ciao. Se ti serve un potenziale qualsiasi, puoi procedere anche in un altro modo. Scegli una qualsiasi curva $\gamma$ di estremi $P_0(x_0,y_0)$ e $P(x,y)$ e cerchi il potenziale di $\mathbf{F}(x,y)$ che si annulla in $P_0$, dato da
\[G(x,y)=\int_\gamma \mathbf{F}(x,y)\cdot d\mathbf{r}\]
Il metodo che ti ha mostrato Geppo ti permette di determinare l'intera famiglia dei potenziali di $\mathbf{F}(x,y)$, mentre in questo modo ne trovi uno in particolare e ti risparmia un po' di calcoli, tra cui il risolvere l'equazione differenziale per determinare $c(y)$.
Ciao
\[G(x,y)=\int_\gamma \mathbf{F}(x,y)\cdot d\mathbf{r}\]
Il metodo che ti ha mostrato Geppo ti permette di determinare l'intera famiglia dei potenziali di $\mathbf{F}(x,y)$, mentre in questo modo ne trovi uno in particolare e ti risparmia un po' di calcoli, tra cui il risolvere l'equazione differenziale per determinare $c(y)$.
Ciao
"Geppo":
Un modo può essere questo. Se G(x,y) è il potenziale, deve essere $(delG)/(delx)=(9x)/(9x^2+y^2)$ e $(delG)/(dely)=(y)/(9x^2+y^2)$.
Per trovare G puoi integrare la prima uguaglianza ripetto a x: $G = \int (9x)/(9x^2+y^2)dx$, alla cui soluzione dovrai aggiungere un $c(y)$, cioè una funzione della sola variabile y. Tale $c(y)$ si determina sfruttando la seconda uguaglianza.
seguendo il tuo ragionamento verrebbe:
$G_x =\int (9x/(9x^2 +y^2)) dx = 1/2 log(9x^2 +y^2) +c(y)$
$G_y =\int (y/(9x^2 +y^2)) dy = 1/2 log(9x^2 +y^2) +c(y)$
come si procede poi?
Da $G=1/2 log(9x^2+y^2)+c(y)$, derivi rispetto a y:
$(delG)/(dely)=y/(9x^2+y^2)+c'(y)$ che deve essere uguale a $y/(9x^2+y^2)$. Da cui $c'(y)=0$, cioè $c(y)=cost$.
$G=$ e non $G_y$ (o $G_x$). Poi dovresti scrivere $.....+c(x)$ (costante rispetto a y). Ma questo come alternativa al procedimento precedente.
$(delG)/(dely)=y/(9x^2+y^2)+c'(y)$ che deve essere uguale a $y/(9x^2+y^2)$. Da cui $c'(y)=0$, cioè $c(y)=cost$.
"ludwigZero":
$G_y =\int (y/(9x^2 +y^2)) dy = 1/2 log(9x^2 +y^2) +c(y)$
$G=$ e non $G_y$ (o $G_x$). Poi dovresti scrivere $.....+c(x)$ (costante rispetto a y). Ma questo come alternativa al procedimento precedente.
"previ91":
Ps : ho già verificato che è irrotazionale e conservativo.
E come hai fatto? Il dominio di questo campo vettoriale non è semplicemente connesso, quindi se hai solo verificato l'irrotazionalità non puoi concludere nulla. Dovresti anche verificare che tutte le circuitazioni che avvolgono l'origine si annullano (e in realtà è sufficiente verificare su una circuitazione sola: post444685.html#p444685 ).
"dissonance":
[quote="previ91"]Ps : ho già verificato che è irrotazionale e conservativo.
E come hai fatto? Il dominio di questo campo vettoriale non è semplicemente connesso, quindi se hai solo verificato l'irrotazionalità non puoi concludere nulla. Dovresti anche verificare che tutte le circuitazioni che avvolgono l'origine si annullano (e in realtà è sufficiente verificare su una circuitazione sola: post444685.html#p444685 ).[/quote]
Ho calcolato il lavoro lungo una curva che mi dava l'esercizio ed era nullo ...non ho riportato tutto l'esercizio perchè volevo capire il potenziale !!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo