Potenziale di un campo vettoriale
Salve a tutti, vorrei chiedervi se sapete come si svolgono questo tipo di esercizi sul potenziale. Io sono praticamente a zero e non riesco a capire lo svolgimento. Se qualcuno riesce a darmi una mano lo ringrazierei molto.
Risposte
Un campo vettoriale ammette potenziale U se il campo è conservativo, quindi per prima cosa devi verificare che è conservativo, qual è la condizione necessaria e sufficiente di conservatività di un campo vettoriale?
Ciao Vulplasir, grazie dell'aiuto. Un campo direi sia conservativo se la derivata rispetto a y di $ x/(x^2+y^2) $ è uguale alla derivata rispetto a x di $ -y/(x^2+y^2) $. Una volta controllato questo come procedo? Esiste un metodo universale?
Quella che hai detto è una condizione necessaria ma non sufficiente, per essere anche sufficiente vanno fate anche delle ipotesi sul dominio di F, in questo caso il dominio di F è il luogo in $RR^2$ in cui non si annulla il denominatore delle componenti di F, ossia $y^2!=x^2$, cioè $y!=+-x$, in pratica il dominio di F è il piano RR^2 privato delle rette $y=x$ e $y=-x$, si vede subito che questo dominio non è semplicemente connesso, quindi la condizione che hai detto appunto è solo necessaria, per farla diventare anche sufficiente bisogna restringere il dominio, e dato che dal testo si deduce che U deve essere definita in (1,0), allora come dominio di F in cui calcolare U si prende la "fetta" destra di $RR^2$ (dato che quelle due rette dividon $RR^2$ in 4 "fette" infinite), questa fetta destra è semplicemente connessa e pertanto F in questo dominio è conservativo.
Per calcolare U non c'è un modo universale, ma c'è un modo semplice, infatti per definizione, preso un punto (x,y) nello spazio e una curva regolare gamma che connette (1,0) e (x,y), si ha $U(x,y)-U(1,0)=int_(gamma)vecF*dvecs$, e questo integrale NON dipende dalla particolare curva gamma scelta, pertanto la cosa migliore da fare è connettere (1,0) e (x,y) con una curva "rettangolare" che parte da (1,0) poi va orizzontalmente fino a (x,0) e poi va verticalmente fino a (x,y) e fare quell'integrale che restituisce U(x,y)
Per calcolare U non c'è un modo universale, ma c'è un modo semplice, infatti per definizione, preso un punto (x,y) nello spazio e una curva regolare gamma che connette (1,0) e (x,y), si ha $U(x,y)-U(1,0)=int_(gamma)vecF*dvecs$, e questo integrale NON dipende dalla particolare curva gamma scelta, pertanto la cosa migliore da fare è connettere (1,0) e (x,y) con una curva "rettangolare" che parte da (1,0) poi va orizzontalmente fino a (x,0) e poi va verticalmente fino a (x,y) e fare quell'integrale che restituisce U(x,y)
"Vulplasir":
Quella che hai detto è una condizione necessaria ma non sufficiente, per essere anche sufficiente vanno fate anche delle ipotesi sul dominio di F, in questo caso il dominio di F è il luogo in $RR^2$ in cui non si annulla il denominatore delle componenti di F, ossia $y^2!=x^2$, cioè $y!=+-x$, in pratica il dominio di F è il piano RR^2 privato delle rette $y=x$ e $y=-x$, si vede subito che questo dominio non è semplicemente connesso, quindi la condizione che hai detto appunto è solo necessaria, per farla diventare anche sufficiente bisogna restringere il dominio, e dato che dal testo si deduce che U deve essere definita in (1,0), allora come dominio di F in cui calcolare U si prende la "fetta" destra di $RR^2$ (dato che quelle due rette dividon $RR^2$ in 4 "fette" infinite), questa fetta destra è semplicemente connessa e pertanto F in questo dominio è conservativo.
Per calcolare U non c'è un modo universale, ma c'è un modo semplice, infatti per definizione, preso un punto (x,y) nello spazio e una curva regolare gamma che connette (1,0) e (x,y), si ha $U(x,y)-U(1,0)=int_(gamma)vecF*dvecs$, e questo integrale NON dipende dalla particolare curva gamma scelta, pertanto la cosa migliore da fare è connettere (1,0) e (x,y) con una curva "rettangolare" che parte da (1,0) poi va orizzontalmente fino a (x,0) e poi va verticalmente fino a (x,y) e fare quell'integrale che restituisce U(x,y)
Ok primo pezzo ci sono, secondo pezzo non saprei metterlo in pratica. Ma ho visto anche metodi che integrano il primo pezzo rispetto a x, poi lo derivano rispetto a y e poi lo eguagliano al secondo pezzo. Anche questo è un metodo?
Si è un metodo, è sostanzialmente equivalente al mio, ma diciamo che è "poco elegante"
Ok, ma si può usare sempre per esempio? Me lo riesci a spiegare meglio? Perchè ieri ho provato ad applicarlo ma non mi viene l'esercizio.
Qui hai: $F_x=x/(x^2-y^2), F_y=-y/(x^2-y^2)$
Si deve avere:
$(partialU)/(partialx)=x/(x^2-y^2)$
Quindi integrando rispetto a x si ha:
$U(x,y)=intx/(x^2-y^2)dx=1/2ln(x^2-y^2)+f(y)$ (quindi devi aggiungere una f(y) al risultato dell'integrale se risolvi rispetto a x, mentre se avessi avuto tre variabili x,y,z e se integravi qualcosa rispetto a x dovevi aggiungere una f(y,z) al tuo risultato)
Quindi:
U(x,y)=1/2ln(x^2-y^2)+f(y)
E quindi vale:
$(partialU)/(partialy)=partial(1/2ln(x^2-y^2))/(partialy)+(partialf(y))/(partialy)=-y/(x^2-y^2)$
Devi risolvere questa equazione per determinare anche $f(y)$
Si deve avere:
$(partialU)/(partialx)=x/(x^2-y^2)$
Quindi integrando rispetto a x si ha:
$U(x,y)=intx/(x^2-y^2)dx=1/2ln(x^2-y^2)+f(y)$ (quindi devi aggiungere una f(y) al risultato dell'integrale se risolvi rispetto a x, mentre se avessi avuto tre variabili x,y,z e se integravi qualcosa rispetto a x dovevi aggiungere una f(y,z) al tuo risultato)
Quindi:
U(x,y)=1/2ln(x^2-y^2)+f(y)
E quindi vale:
$(partialU)/(partialy)=partial(1/2ln(x^2-y^2))/(partialy)+(partialf(y))/(partialy)=-y/(x^2-y^2)$
Devi risolvere questa equazione per determinare anche $f(y)$
Ok a me la derivata rispetto a y della parte integrata rispetto a x viene così: $ -y/(x^2-y^2) $. La derivata di $ f(y) $ cosa sarebbe? $ f'(y) $ ?
E poi non ho capito perchè all'integrale hai aggiunto $ f(y) $. Sarebbe la costante?
Ti chiedo anche se sai come scrivere questi esercizi su wolfram per controllare i risultati. Grazie mille
E poi non ho capito perchè all'integrale hai aggiunto $ f(y) $. Sarebbe la costante?
Ti chiedo anche se sai come scrivere questi esercizi su wolfram per controllare i risultati. Grazie mille
Ho aggiunto una f(y) che sarebbe una funzione solo di y, perché la derivata parziale di f(y) rispetto a x è zero, quindi f(y) si comporta come una costante anche se in verità è una funzione. $(partialf(y))/(partialy)$ in pratica è $f'(y)$, quindi per determinare la f(y) devi risolvere l'ultima equazione che ti ho scritto (che non è altro che una eq differenziale)
"Vulplasir":
Ho aggiunto una f(y) che sarebbe una funzione solo di y, perché la derivata parziale di f(y) rispetto a x è zero, quindi f(y) si comporta come una costante anche se in verità è una funzione. $(partialf(y))/(partialy)$ in pratica è $f'(y)$, quindi per determinare la f(y) devi risolvere l'ultima equazione che ti ho scritto (che non è altro che una eq differenziale)
Scusami ma non ho capito quale sia l'equazione differenziale da svolgere.
O almeno io ho capito che viene $ f'(y)=0 $
L'equazione differenziale da svolgere è:
$-y/(x^2-y^2)+f'(y)=-y/(x^2-y^2)$
E quindi risulta:
$f'(y)=0 -> f(y)=cost$
Quindi il tuo potenziale è:
$U(x,y)=1/2ln(x^2-y^2)+cost$
Per quanto riguarda wolfram alpha non saprei, non so come scrive il problema.
$-y/(x^2-y^2)+f'(y)=-y/(x^2-y^2)$
E quindi risulta:
$f'(y)=0 -> f(y)=cost$
Quindi il tuo potenziale è:
$U(x,y)=1/2ln(x^2-y^2)+cost$
Per quanto riguarda wolfram alpha non saprei, non so come scrive il problema.
"Vulplasir":
L'equazione differenziale da svolgere è:
$-y/(x^2-y^2)+f'(y)=-y/(x^2-y^2)$
E quindi risulta:
$f'(y)=0 -> f(y)=cost$
Quindi il tuo potenziale è:
$U(x,y)=1/2ln(x^2-y^2)+cost$
Per quanto riguarda wolfram alpha non saprei, non so come scrive il problema.
Aspetta un attimo e per quanto riguarda $ U(1,0)=0 $ ? Cosa ci devo fare? Basta che sostituisco al potenziale 1 alle x e 0 alle y e eguaglio a 0 giusto? Così trovo la costante immagino
Ultima cosa: questo metodo si puó usare sempre ho ha delle limitazioni?
Aspetta un attimo e per quanto riguarda U(1,0)=0 ? Cosa ci devo fare? Basta che sostituisco al potenziale 1 alle x e 0 alle y e eguaglio a 0 giusto? Così trovo la costante immagino
Ultima cosa: questo metodo si puó usare sempre ho ha delle limitazioni?Si, si può usare sempre, occhio però che ho fatto un errore, infatti l'integrale di $x/(x^2-y^2)$ è $1/2lnabs(x^2-y^2)$, con appunto un valore assoluto. Se quindi dato che in questo esercizio ci dice che il potenziale è definito sul punto (1,0), allora significa che ci troviamo nella fetta destra del piano in cui $x^2>y^2$ e pertanto si può togliere il valore assoluto. Se invece ci trovassimo nella fetta in alto in cui $y^2>x^2$ allora senza valore assoluto quella funzione non era definita in questa regione.
Ottimo, non me ne ero neanche accorto dell'errore. Comunque se ne hai voglia e tempo vorrei provare a farti vedere un altro metodo che non ho capito. Se no, non c'è problema, hai già fatto troppo per me!
Di quale metodo si tratta?
p.s. non è detto che io lo capisca
p.s. non è detto che io lo capisca
"Vulplasir":
Di quale metodo si tratta?
p.s. non è detto che io lo capisca
Allora l'esercizio è questo:
$ F(x,y,z)=(8xy-4z^2, 4x^2+10y+8z-40,-8xz+8y) $ Determinare il potenziale $ U $ tale che $ U(0,0,0)=0 $
All'inizio si controlla sempre che il campo vettoriale sia conservativo. Dopo si procede così ma in alcuni passaggi mi perdo. Non so se te riesci a capirci qualcosa.
$ U(x,y,z)=U(0,y,z)+int (8yx-4z^2)dx=U(0,y,z)+4x^2y-4z^2 $
$ (partial U)/(partial y) (x,y,z)=(partial U)/(partial y) (0,y,z)+4x^2=4x^2+10y+8z-40 $
$ (partial U)/(partial y) (0,y,z)=10y+8z-40 $ da qua in poi mi sono perso
Intanto ti chiedo: cosa vuol dire $ (partial U)/(partial y) (0,y,z) $ ?
$ U(0,y,z)=U(0,0,z)+5y^2+8yz-40y $
$ U(x,y,z)=4x^2y-4xz^2+5y^2+8yz-40y+U(0,0,z) $
$ (partial U)/(partial z) (x,y,z)=-8xz+8y+(partial U)/(partial z) (0,0,z)=-8xz+8y $ dato che $ (partial U)/(partial z) (0,0,z)=0 $
$ U(x,y,z)=4x^2y-4xz^2+5y^2+8yz-40y+U(0,0,z) $
$ U(0,0,z)=c $ quindi $ c=0 $ e $ U(0,0,0)=0 $ se e solo se $ c=0 $
$ U(x,y,z)=4x^2y-4xz^2+5y^2+8yz-40y $
In pratica è una via di mezzo tra il metodo che ti ho spiegato io e quell'altro.
Questa segue dalla definizione di campo conservativo, infatti dati due punti A e B nello spazio allora risulta:
$U(B)-U(A)=int_(A)^(B)vecF*dvecs$
Nel tuo caso ai ha $A=(0,y,z)$ e $B=(x,y,z)$, essendo B il generico punto (x,y,z) in cui si calcola il potenziale, quindi passando da A=(0,y,z) a B=(x,y,z), dato che quell'integrale è indipendente dal percorso scelto, allora come percorso più semplice si sceglie semplicemente il percorso lungo l'asse x che porta da x=0 a x=x, e dato che quindi si è scelto un percorso parallelo all'asse x, significa che solo la componente $F_x$ del campo vettoriale compie lavoro, dato che le altre due componenti sono ortogonali, quindi:
$U(x,y,z)=U(0,y,z)+int_(0)^(x)F_x(t)dt$ -> che porta al risultato riportato da te.
Significa semplicemente la derivata parziale di U rispetto a y calcolata nel punto $(0,y,z)$, e dato che $(partialU)/(partialy)=F_y$ allora per calcolare $(∂U)/(∂y)(0,y,z)$ basta sostituire $x=0$ in $F_y$
E poi applica ancora la definizione di campo conservativo e scrive:
$U(0,y,z)=U(0,0,z)+intF_y(t)dt$ , con l'integrale calcolato lungo una curva che parte da y=0 e arriva a y=y
$ U(x,y,z)=U(0,y,z)+int (8yx-4z^2)dx=U(0,y,z)+4x^2y-4z^2 $
Questa segue dalla definizione di campo conservativo, infatti dati due punti A e B nello spazio allora risulta:
$U(B)-U(A)=int_(A)^(B)vecF*dvecs$
Nel tuo caso ai ha $A=(0,y,z)$ e $B=(x,y,z)$, essendo B il generico punto (x,y,z) in cui si calcola il potenziale, quindi passando da A=(0,y,z) a B=(x,y,z), dato che quell'integrale è indipendente dal percorso scelto, allora come percorso più semplice si sceglie semplicemente il percorso lungo l'asse x che porta da x=0 a x=x, e dato che quindi si è scelto un percorso parallelo all'asse x, significa che solo la componente $F_x$ del campo vettoriale compie lavoro, dato che le altre due componenti sono ortogonali, quindi:
$U(x,y,z)=U(0,y,z)+int_(0)^(x)F_x(t)dt$ -> che porta al risultato riportato da te.
Intanto ti chiedo: cosa vuol dire $∂U/∂y(0,y,z)$ ?
Significa semplicemente la derivata parziale di U rispetto a y calcolata nel punto $(0,y,z)$, e dato che $(partialU)/(partialy)=F_y$ allora per calcolare $(∂U)/(∂y)(0,y,z)$ basta sostituire $x=0$ in $F_y$
E poi applica ancora la definizione di campo conservativo e scrive:
$U(0,y,z)=U(0,0,z)+intF_y(t)dt$ , con l'integrale calcolato lungo una curva che parte da y=0 e arriva a y=y
Interessante come metodo, direi di averlo capito, anche se la via più corta mi sembra il secondo metodo che abbiamo visto.
Ti ringrazio come sempre!
Ti ringrazio come sempre!
Questo è un metodo "costruttivo", ossia costruisce la funzione potenziale partendo dalle sue proprietà, mentre l'altro metodo è un metodo analitico
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