Potenze...mettiamoci d'accordo!
$x^(1/3) = x^(2/6)$ ?
- da un lato sembrerebbe di sì perchè $1/3=2/6$
- d'altra parte, tra le due scritture, solo $x^(1/3)$ è definita per gli $x<0$
infatti
dalla definizione di potenza ad esponente razionale: $x^(m/n)=(x^m)^(1/n)=(x^(1/n))^m$,
$x^(1/3)$ è definita $AAx$, anche i negativi
mentre $x^(2/6)$ non è definito per gli $x<0$, perchè $((x)^(1/6))^2$ non si può fare
cioè riassumendo: nonostante il fatto che $1/3=2/6$ tuttavia $x^(1/3)$ e $ x^(2/6) $ (visti come funzioni reali) hanno domini diversi e quindi sono funzioni diverse.
- da un lato sembrerebbe di sì perchè $1/3=2/6$
- d'altra parte, tra le due scritture, solo $x^(1/3)$ è definita per gli $x<0$
infatti
dalla definizione di potenza ad esponente razionale: $x^(m/n)=(x^m)^(1/n)=(x^(1/n))^m$,
$x^(1/3)$ è definita $AAx$, anche i negativi
mentre $x^(2/6)$ non è definito per gli $x<0$, perchè $((x)^(1/6))^2$ non si può fare
cioè riassumendo: nonostante il fatto che $1/3=2/6$ tuttavia $x^(1/3)$ e $ x^(2/6) $ (visti come funzioni reali) hanno domini diversi e quindi sono funzioni diverse.
Risposte
Alcuni testi aboliscono l'uso di potenze ad esponente razionale ($x^(m/n)$) con m ed n non primi tra loro e quindi in particolare entrambi pari. Quindi secondo questi testi $x^(2/6)$ non ha proprio senso! e il problema con questa scelta non si pone nemmeno. Altri testi invece non ne parlano proprio...
Quello su cui fai confusione è il concetto di dominio di una funzione: in matematica ogni funzione della forma $f(x)^g(x)$, a parte il dominio di $f$ e $g$ separatamente considerati, viene definita solo quando $f(x)>0$. Che poi la scrittura $x^{1/3}$ abbia senso anche se $x<0$ è una cosa diversa; anche la quantità $(-1)^x$, in quanto tale è definita per certi $x$, ma la funzione $f(x)=(-1)^x$ ha dominio vuoto.
questo discorso vale se g(x) non è costante poichè ogni funzione f(x) è del tipo $f(x)^g(x)$ infatti posso scrivere $f(x)^1$
Non capisco perchè
L'insieme dei numeri naturali non è un possibile dominio?
"Luca.Lussardi":
la funzione $f(x)=(-1)^x$ ha dominio vuoto.
L'insieme dei numeri naturali non è un possibile dominio?
si puoi dare dei valori ad x naturali
però se la vedi come funzione allora per definizione essendo del tipo f(x)^g(x) si danno ad x solo i valori per cui f(x)>0 in questo caso non ci sono
è una definizione che a volte in alcuni libri non viene esplicitata
però se la vedi come funzione allora per definizione essendo del tipo f(x)^g(x) si danno ad x solo i valori per cui f(x)>0 in questo caso non ci sono
è una definizione che a volte in alcuni libri non viene esplicitata
è una conenvenzione. se ne è parlato molte volte sul forum. Potresti, ma se le consideri funzioni è vietato. Boh come andare in macchina in senso vietato. si può se si vuole, ma è vietato.
"Luca.Lussardi":
... in matematica ogni funzione della forma $f(x)^g(x)$, a parte il dominio di $f$ e $g$ separatamente considerati, viene definita solo quando $f(x)>0$. Che poi la scrittura $x^{1/3}$ abbia senso anche se $x<0$ è una cosa diversa
Non capisco bene la differenza...mmm...io pensavo che il dominio fosse l'insieme dei valori per cui ha senso calcolare la funzione
si però siccome alcuni casi la cosa diventa problematica se si accettano tutti i valori (diventa problematica perchè la funzione perderebbe alcune caratteristiche tipo continuità e derivabilità oppure ci sarebbero punti isolati che non avrebbero alcuna utilità per l'andamento della funzionw) quindi si preferisce restringere i valori da attribuire alla x
Tornando alla domanda originale e cioè $x^(1/3) = x^(2/6) ?$ mi sembra di aver capito che:
- viste come funzioni sono la stessa cosa
- viste come "cose in sè" sono diverse
è corretto?
- viste come funzioni sono la stessa cosa
- viste come "cose in sè" sono diverse
è corretto?
guarda qui -> http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)
-1=1
La risposta è:
$x^(1/3)=x^(2/6)$ per $x>=0$
mentre per x<0 l'espressione non ha senso perché la quantità a secondo membro non è definita (viste "come cose in se")
viste come funzioni sono diverse perchè hanno dominio diverso ma possiamo dire che sono due funzioni che assumono lo stesso valore per x>=0
-1=1
La risposta è:
$x^(1/3)=x^(2/6)$ per $x>=0$
mentre per x<0 l'espressione non ha senso perché la quantità a secondo membro non è definita (viste "come cose in se")
viste come funzioni sono diverse perchè hanno dominio diverso ma possiamo dire che sono due funzioni che assumono lo stesso valore per x>=0
Per quanto ne sappia io, ogni funzione del tipo $x^\alpha$, con $\alpha$ razionale o irrazionale non intero, è definita soltanto per $x\ge 0$ se $\alpha>0$ oppure per $x>0$ se $\alpha<0$. Non sono mai riuscito a capire il motivo della restizione a questo tipo di dominio, ma comunque ho accettato la cosa. Quindi $x^\frac{1}{3}$ e $x^\frac{2}{6}$, siccome $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, sono la stessa espressione, e pertanto definiscono la stessa funzione. In particolare, $x^\frac{1}{3}$ e $\root[3]{x}$ non sono espressioni equivalenti, e coicidono solo per $x\ge 0$.
$(-8)^(1/3)=root(3)(-8)=-root(3)(8)=-2$
$root(6)((-8)^2)=root(6)(+64)=+2$
$(root(6)(-8))^2" non esiste"$
$(-8)^(2/6)=?$
$root(6)((-8)^2)=root(6)(+64)=+2$
$(root(6)(-8))^2" non esiste"$
$(-8)^(2/6)=?$
"gianni80":
guarda qui -> http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)
-1=1
grazie, quindi anche secondo wikipedia non sono ammesse le potenze con esponente con numeratore e denominatore NON primi tra loro
...
Però ad esempio il grafico di $x^(1/3)$ comprende anche la parte delle $x<0$ ed il suo dominio ho sempre trovato che è tutto $RR$
...c'è qualcosa che non mi torna...
"Luca.Lussardi":...
in matematica ogni funzione della forma $f(x)^g(x)$, a parte il dominio di $f$ e $g$ separatamente considerati, viene definita solo quando $f(x)>0$. Che poi la scrittura $x^{1/3}$ abbia senso anche se $x<0$ è una cosa diversa;
Però ad esempio il grafico di $x^(1/3)$ comprende anche la parte delle $x<0$ ed il suo dominio ho sempre trovato che è tutto $RR$
...c'è qualcosa che non mi torna...
perchè il discorso $f(x)^g(x)$ vale quando g(x) non è costante
altrimenti anche $x^2$ sarebbe definita solo per x>0 cosa che non è
altrimenti anche $x^2$ sarebbe definita solo per x>0 cosa che non è
"gianni80":
perchè il discorso $f(x)^g(x)$ vale quando g(x) non è costante
altrimenti anche $x^2$ sarebbe definita solo per x>0 cosa che non è
-quindi è corretto che
"ralf86":
$x^(1/3)$ e $ x^(2/6) $ (visti come funzioni reali) hanno domini diversi (la prima tutto $RR$ l'altra solo gli $x>=0$)e quindi sono funzioni diverse.
-oppure non ha nemmeno senso la frase perchè 2 e 6 non sono primi tra loro quindi $x^(2/6)$ non è nemmeno definita (come dice ad esempio Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza ,sezione: matematica, paragrafo:"Radici ed esponenti frazionari")?
In altri termini la mia domanda è: sono ammesse potenze, sia funzioni che "cose in se", ad esponente razionale con numeratore e denominatore non primi tra loro? Qual'è la posizione maggiormente condivisa dai matematici su questo fatto?
$a^(x/y)$
secondo me bisogna solo vedere questo
1)
se x è positivo:
se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a;
se y è pari, la potenza è definita per a non negativo;
2)
se x è negativo:
se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a non nullo;
se y è pari, la potenza è definita per a positivo.
$a^(15/35)$ 15 e 35 non sono primi tra loro e a definito per qualsiasi valore per la 1)
secondo me bisogna solo vedere questo
1)
se x è positivo:
se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a;
se y è pari, la potenza è definita per a non negativo;
2)
se x è negativo:
se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a non nullo;
se y è pari, la potenza è definita per a positivo.
$a^(15/35)$ 15 e 35 non sono primi tra loro e a definito per qualsiasi valore per la 1)
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