Potenze numero complesso
Non ricordo più come si faceva. Se per esempio devo calcolare $z^2$ di $z=i-2$ si fa
$z^2=(i-2)^2$ e quindi $z^2=i^2-4i+4 = -4i+3$?
O è una boiata?
$z^2=(i-2)^2$ e quindi $z^2=i^2-4i+4 = -4i+3$?
O è una boiata?
Risposte
Si è esatto 
Bene. Un peso in meno.
Grazie!
Grazie!
Non sto ad aprire un altro topic per un problema non dico analogo, ma quasi.
Ho un dubbio su questo esercizio:
se $e^z = 2cos(pi/8)-2isin(pi/8)$, allora $z$ vale?
Può essere così semplice?
E altra cosa: calcolare le soluzioni complesse dell'equazione $z^3+8$ (ne ho anche un altro con $Z^4$) in forma algebrica
Io farei $z^3=(-2)3$ e di conseguenza $z=-2$
Ho controllato su Wolfgram Alpha se era giusto e oltre a questa soluzione, mi da anche $z=1+isqrt3$ e $z=1-isqrt3$
Da dove vengono fuori queste due soluzioni?
Con l'equazione $z^4$ ho un problema simile.
Ho un dubbio su questo esercizio:
se $e^z = 2cos(pi/8)-2isin(pi/8)$, allora $z$ vale?
Può essere così semplice?
$z=ln[2cos(pi/8)-2isin(pi/8)]$
E altra cosa: calcolare le soluzioni complesse dell'equazione $z^3+8$ (ne ho anche un altro con $Z^4$) in forma algebrica
Io farei $z^3=(-2)3$ e di conseguenza $z=-2$
Ho controllato su Wolfgram Alpha se era giusto e oltre a questa soluzione, mi da anche $z=1+isqrt3$ e $z=1-isqrt3$
Da dove vengono fuori queste due soluzioni?
Con l'equazione $z^4$ ho un problema simile.
"Shika93":
Può essere così semplice?
$z=ln[2cos(pi/8)-2isin(pi/8)]$
Sì
Poi però scrivi il numero nel logaritmo in forma esponenziale e prosegui coi calcolisoluzioni complesse dell'equazione $z^3+8$
Io farei $z^3=(-2)3$ e di conseguenza $z=-2$
(Rispondo immaginando che l'equazione sia $z^3 + 8 = 0$, dato che manca il secondo membro
)Questo procedimento è valido solo in campo reale, in campo complesso vale:
\(\displaystyle z^3 = \sqrt[3]{-8} \)
e per il calcolo delle radici terze ti devi affidare alla formula di De Moivre, che per una radice $n$-esima ti restituisce esattamente $n$ risultati.
"Whisky84":
[quote="Shika93"]
Può essere così semplice?
$z=ln[2cos(pi/8)-2isin(pi/8)]$
Sì
Poi però scrivi il numero nel logaritmo in forma esponenziale e prosegui coi calcoli[/quote]
Cioè $z=ln(2e^(-ipi/8))$?
Edit: Ah cavolo non si vede niente xD l'esponente di $e$ sarebbe $-ipi/8$ xD
"Whisky84":[/quote]
[quote="Shika93"]
(Rispondo immaginando che l'equazione sia $z^3 + 8 = 0$, dato che manca il secondo membro
Questo procedimento è valido solo in campo reale, in campo complesso vale:
\(\displaystyle z^3 = \sqrt[3]{-8} \)
e per il calcolo delle radici terze ti devi affidare alla formula di De Moivre, che per una radice $n$-esima ti restituisce esattamente $n$ risultati.
Si scusa $z^3+8=0$
Ah si, i risultati in questo caso quindi sono i tre estremi di un triangolo.
Quindi i risultati sono il primo reale che sarebbe quello che ho scritto io, poi le radici cubiche di -8, giusto?
Ovvero $1+isqrt8$ e $1-isqrt8$?
Chiedo scusa, nel frattempo sono incappato in un altro problema:
se $cost+sqrt3sint=\rhocos(t+\theta)$ per $t\inR, \rho>=0, -pi/2<=\theta<=pi/2$, allora $\rho, \theta$ quanto valgono?
La mia espressione è diventata così:
A colpo d'occhio direi di trasformare $sqrt3sint$ in $sqrt3cos(pi/2-t)$ per avere tutti i termini in coseno, ma oltre a questo non saprei che fare...Pensavo di fare l'arcocoseno di tutti i termini per avere
$t+sqrt3t=\rho(t+\theta)$ ma non so perchè ma mi sa di boiata...xD
"Shika93":
Cioè $z=ln(2e^(-ipi/8))$?
Si legge, tranquillo!
Si, poi applica le proprietà dei logaritmi, tenendo però a mente che stai lavorando con logaritmi complessi
Ah si, i risultati in questo caso quindi sono i tre estremi di un triangolo.
Quindi i risultati sono il primo reale che sarebbe quello che ho scritto io, poi le radici cubiche di -8, giusto?
Sì. Tieni a mente che sono tutte e tre radici cubiche complesse di $-8$, anche $-2$
Ovvero $1+isqrt8$ e $1-isqrt8$?
A me, applicando De Moivre risultano radici (quadrate) di 3, non di 8. Ti torna?
Chiedo scusa, nel frattempo sono incappato in un altro problema:
se $cost+sqrt3sint=\rhocos(t+\theta)$ per $t\inR, \rho>=0, -pi/2<=\theta<=pi/2$, allora $\rho, \theta$ quanto valgono?
https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Formule_dell.27angolo_aggiunto
"Whisky84":[/quote]
[quote="Shika93"]
Ovvero $1+isqrt8$ e $1-isqrt8$?
A me, applicando De Moivre risultano radici (quadrate) di 3, non di 8. Ti torna?
Cioè dovrei fare $(cos3\theta+isin3\theta)=-8$? Poi? Non capisco come vengano fuori quei risultati.
"Whisky84":[/quote]
[quote="Shika93"]
Cioè $z=ln(2e^(-ipi/8))$?
Chiedo scusa, nel frattempo sono incappato in un altro problema:
se $cost+sqrt3sint=\rhocos(t+\theta)$ per $t\inR, \rho>=0, -pi/2<=\theta<=pi/2$, allora $\rho, \theta$ quanto valgono?
https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Formule_dell.27angolo_aggiunto
Eh, io avevo scritto $sqrt3sint = sqrt3cos(pi/2-t)$ per avere tutti i termini in coseno. Ma qui mi sono inchiodato
"Shika93":
Cioè dovrei fare $(cos3\theta+isin3\theta)=-8$? Poi? Non capisco come vengano fuori quei risultati.
Manca un $\rho^3$ a moltiplicare tutto il primo membro.
Ti conviene ricordare che per le radici $n$-esime di un numero complesso $z = \rho(\cos \theta + \i \sin\theta) = \rho e^{\i\theta}$ vale:
\(\displaystyle
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right) = \sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}} \qquad k = 0, 1, \dots, n-1
\)
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right) = \sqrt[n]{\rho}\,e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}} \qquad k = 0, 1, \dots, n-1
\)
"Shika93":
Chiedo scusa, nel frattempo sono incappato in un altro problema:
se $cost+sqrt3sint=\rhocos(t+\theta)$ per $t\inR, \rho>=0, -pi/2<=\theta<=pi/2$, allora $\rho, \theta$ quanto valgono?
Eh, io avevo scritto $sqrt3sint = sqrt3cos(pi/2-t)$ per avere tutti i termini in coseno. Ma qui mi sono inchiodato
La cosa più semplice sarebbe applicare direttamente la formula dell'angolo aggiunto, ma se vuoi tutti i passaggi per capire meglio eccoli: (in pratica quello che segue è lo stesso ragionamento che si fa per dimostrare quella formula)
Il nostro scopo è quello di poter applicare la formula:
\(\displaystyle \cos(\alpha - t) = \cos\alpha\cos t + \sin\alpha\sin t \)
cioè la formula di sottrazione del coseno.
Il nostro punto di partenza è:
\(\displaystyle 1\cdot\cos t + \sqrt{3}\cdot\sin t \)
che è nella forma:
\(\displaystyle a\cos t + b\sin t \),
con $a = 1$ e $b = \sqrt{3}$.
Dobbiamo manipolare questa espressione in modo tale che al posto di $a$ e $b$ compaiano altri due coefficienti, diciamo $\bar a$ e $\bar b$, tali da poter rappresentare rispettivamente il coseno e il seno di un certo angolo, cioè deve risultare:
\(\displaystyle \bar a, \bar b \in [-1, 1] \qquad \bar a^2 + \bar b^2 =1 \)
(la relazione di destra non è altro che l'identità goniometrica fondamentale).
Per fare ciò, è sufficiente moltiplicare e dividere per $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt(1^2+ (\sqrt 3)^2} = 2$.
L'espressione di partenza così diventa:
\(\displaystyle 2\left( \frac{1}{2}\cos t + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t \right)\)
con $\bar a = \frac{1}{2}$ e $\bar b= \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Dobbiamo quindi trovare un angolo $\alpha$ tale che $\cos\alpha = \bar a = \frac{1}{2}, \sin\alpha = \bar b = \frac{\sqrt{3}}{2}$. In questo caso siamo fortunati e banalmente si trova $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Quindi possiamo riscrivere l'ultima relazione in questo modo:
\(\displaystyle 2\left( \cos\frac{\pi}{3}\cos t + \sin\frac{\pi}{3}\sin t \right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\),
risolvendo l'esercizio.
In questi casi si procede sempre in questo modo, scegliendo la formula di addizione o quella di sottrazione a seconda dei segni, e la formula relativa al seno o al coseno in base a quale funzione goniometrica si vuole che compaia nel passaggio finale.
L'esercizio col logaritmo l'hai completato?
Non me l'aspettavo così "complesso"...xD
Quello del logaritmo mi risulta
$z=-pi/8-iln2$
In pratica ho fatto la differenza tra $ln2$ e $ln(e^(ipi/8))$
E' giusto?
Quello del logaritmo mi risulta
$z=-pi/8-iln2$
In pratica ho fatto la differenza tra $ln2$ e $ln(e^(ipi/8))$
E' giusto?
\(\displaystyle
z=\ln\left(2e^{-i\frac{\pi}{8}}\right) = \ln2 + \ln\left(e^{-i\frac{\pi}{8}}\right) = \ln2 -i\frac{\pi}{8} +i2k\pi
\)
z=\ln\left(2e^{-i\frac{\pi}{8}}\right) = \ln2 + \ln\left(e^{-i\frac{\pi}{8}}\right) = \ln2 -i\frac{\pi}{8} +i2k\pi
\)
Non mi ritrovo con un segno del tuo risultato e mi pare che tu abbia scambiato tra loro parte realte e parte immaginaria
Inoltre, attento, manca quel \(i2k\pi \)
Ti consiglio di rivederne la definizione sul tuo libro di testo
Ah si si ho sbagliato.
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
Di nulla 
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