Potenze.
Dunque,
il discorso del mio libro sulle potenze viene subito dopo a quello relativo alla definizione come campo dei numeri reali e all'elencazione delle proprietà di quest'ultimo.
Il mio libro, ad un certo punto, definisce come proprietà intrinseche dell'operazione di potenze le seguenti:
1) (x alla n-esima) alla m-esima= x alla (n*m)-esima;
2)x alla n-esima * x alla m-esima= x alla (n+m)-esima
3) (x*y) alla m-esima= x alla m-esima * y alla m-esima.
Dopodichè, il testo definisce le proprietà dell'operazione di radice, e infine ritorna alla potenza(dando inizio ai miei dubbi, praticamente).
Si tratta di estendere l'operazione di potenza x alla n-esima anche ai casi in cui n appartenga a Z\N, Q\Z, e R\Q.
Dopodichè, dice che, se n è intero negativo (n appartenente a Z\N), il risultato della potenza x alla (-n)-esimo equivale a 1/(x alla ennesima) perchè, con y risultato della potenza stessa:
y elevato a -1= (x alla ennesima) alla -1= x alla n-esima; e, aggiunge il testo:
"e quindi necessariamente y=1/x alla n-esima".
Tutto quello che chiederei è capire che cosa stia intendendo il libro con questa spiegazione. Cioè, alla fine il libro non spiega realmente perchè, essendo -n*-1=n, la base della potenza debba essere proprio 1\x alla n-esima.
Cioè, ho l'impressione che mi manchi qualcosa per capire questi passaggi, nella cui concatenazione non vedo logicità alcuna.
Inoltre, se si va su wikipedia.it alla voce specifica di questa operazione, si nota come vi siano altre proprietà basilari delle potenze, e che potrebbe benissimo essere utilizzata quella secondo cui x alla m/ x alla n= x alla (m-n); difatti, x alla -n equivale a x alla (0-n), e quindi, siccome per x!=0, x elevato a 0 equivale a 1, si avrebbe proprio quello che cerchiamo.
Vorrei sapere perchè il libro non cita queste ulteriori proprietà elementari di quest'operazione, usando la concatenazione summenzionata che mi è poco chiara.
il discorso del mio libro sulle potenze viene subito dopo a quello relativo alla definizione come campo dei numeri reali e all'elencazione delle proprietà di quest'ultimo.
Il mio libro, ad un certo punto, definisce come proprietà intrinseche dell'operazione di potenze le seguenti:
1) (x alla n-esima) alla m-esima= x alla (n*m)-esima;
2)x alla n-esima * x alla m-esima= x alla (n+m)-esima
3) (x*y) alla m-esima= x alla m-esima * y alla m-esima.
Dopodichè, il testo definisce le proprietà dell'operazione di radice, e infine ritorna alla potenza(dando inizio ai miei dubbi, praticamente).
Si tratta di estendere l'operazione di potenza x alla n-esima anche ai casi in cui n appartenga a Z\N, Q\Z, e R\Q.
Dopodichè, dice che, se n è intero negativo (n appartenente a Z\N), il risultato della potenza x alla (-n)-esimo equivale a 1/(x alla ennesima) perchè, con y risultato della potenza stessa:
y elevato a -1= (x alla ennesima) alla -1= x alla n-esima; e, aggiunge il testo:
"e quindi necessariamente y=1/x alla n-esima".
Tutto quello che chiederei è capire che cosa stia intendendo il libro con questa spiegazione. Cioè, alla fine il libro non spiega realmente perchè, essendo -n*-1=n, la base della potenza debba essere proprio 1\x alla n-esima.
Cioè, ho l'impressione che mi manchi qualcosa per capire questi passaggi, nella cui concatenazione non vedo logicità alcuna.
Inoltre, se si va su wikipedia.it alla voce specifica di questa operazione, si nota come vi siano altre proprietà basilari delle potenze, e che potrebbe benissimo essere utilizzata quella secondo cui x alla m/ x alla n= x alla (m-n); difatti, x alla -n equivale a x alla (0-n), e quindi, siccome per x!=0, x elevato a 0 equivale a 1, si avrebbe proprio quello che cerchiamo.
Vorrei sapere perchè il libro non cita queste ulteriori proprietà elementari di quest'operazione, usando la concatenazione summenzionata che mi è poco chiara.
Risposte
La definizione $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ è una scelta obbligata se vogliamo che le proprietà delle potenze ad esponente in $\mathbb N$ continuino a valere quando gli esponenti appartengono a $\mathbb Z$.
In particolare, volendo che continui a valere la proprietà
$a^n \dot a^m = a^{n+m}$,
se poniamo $y = x^{-n}$, si deve avere
$y^{-1} \dot y = y^{-1+1}=y^0 =1$
e soltanto il reciproco di $y = x^n$ e' il numero che moltiplicato a $y$ da' come prodotto 1, quindi
$y^{-1}=\frac{1}{x^n}$
In particolare, volendo che continui a valere la proprietà
$a^n \dot a^m = a^{n+m}$,
se poniamo $y = x^{-n}$, si deve avere
$y^{-1} \dot y = y^{-1+1}=y^0 =1$
e soltanto il reciproco di $y = x^n$ e' il numero che moltiplicato a $y$ da' come prodotto 1, quindi
$y^{-1}=\frac{1}{x^n}$
Grazie, SinGold, tutto chiaro. Mi confermi dunque che le proprietà della potenza siano solo tre(da cui poi si ricavano anche le altre, tra cui quella che ho utilizzato io?
Viene data la definizione di potenza ad esponente naturale $a^n$ nel modo elementare come prodotto di $a$ per se stesso $n$ volte oppure per ricorrenza:
$a^1:=a$ e $a^{n} := a \cdot a^{n-1}$
Si dimostrano le proprietà
$a^n \cdot a^m =a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{mn}$
per ogni $m,n \in \mathbb N$.
Sono d'obbligo le definizioni
$a^0 :=1$
e
$a^{-n} =\frac{1}{a^n}$
per avere $a^n \cdot a^m =a^{m+n}$ per ogni $m,n \in \mathbb Z$.
Quanto formulato descrive il caso del quoziente:
$\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n} = a^{m-n}$ (1)
Il tuo libro seguirà un percorso simile.
Vikipedia inserisce (1) tra le proprieta della potenza ad esponente naturale e da questa proprietà ricava la definizione della potenza ad esponente intero negativo come tu riporti.
$a^1:=a$ e $a^{n} := a \cdot a^{n-1}$
Si dimostrano le proprietà
$a^n \cdot a^m =a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{mn}$
per ogni $m,n \in \mathbb N$.
Sono d'obbligo le definizioni
$a^0 :=1$
e
$a^{-n} =\frac{1}{a^n}$
per avere $a^n \cdot a^m =a^{m+n}$ per ogni $m,n \in \mathbb Z$.
Quanto formulato descrive il caso del quoziente:
$\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n} = a^{m-n}$ (1)
Il tuo libro seguirà un percorso simile.
Vikipedia inserisce (1) tra le proprieta della potenza ad esponente naturale e da questa proprietà ricava la definizione della potenza ad esponente intero negativo come tu riporti.
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