Potenza numeri complessi
sto svolgendo questo esercizio: $ (1-i)^6 $ vorrei capire con quale metodo conviene portarlo in forma algebrica? devo usare necessariamente il quadrato di un binomio?
Risposte
Passa in forma trigonometrica e usa la strafamosa formula (quella che ti fa girare intorno al cerchio).
secondo me è meglio la "forma euleriana", dato che puoi anche non ricordare la formuletta (e quindi il rischio di sbagliare è minore) se usi quella scrittura 
io stavo ricorrendo alla formula binomiale ma ho fatto un casino con i segni.. qual è la formula euleriana?
il livello di difficolta' e' lo stesso: sempre l'angolo ti serve e una formula da sapere a memoria.
Filosoficamente era chiaro che il binomio di Newton non c'entrava niente: e' un esercizio sui numeri complessi, non un esercizio di algebra
Filosoficamente era chiaro che il binomio di Newton non c'entrava niente: e' un esercizio sui numeri complessi, non un esercizio di algebra
Ps. Io, che insegno all'universita', se uno studente all'esame non si ricorda l'interpretazione geometrica della potenza di un complesso e formula annessa (che e' banale quando si e' capita la suddetta interpretazione geometrica), sono moooolto tentato di bocciarlo. Per cui e' bene che si sappia... anzi a questo punto propongo di svolgere l'esercizio con tutti e due i metodi. Aspettiamo la soluzione!
"ubermensch":
Ps. Io, che insegno all'universita', se uno studente all'esame non si ricorda l'interpretazione geometrica della potenza di un complesso e formula annessa (che e' banale quando si e' capita la suddetta interpretazione geometrica), sono moooolto tentato di bocciarlo. Per cui e' bene che si sappia... anzi a questo punto propongo di svolgere l'esercizio con tutti e due i metodi. Aspettiamo la soluzione!
uhm... boh, da studente, sono contro l'imparare a memoria quando questo implica non aver capito. ecco perchè la formuletta io non la ricordo ma passo sempre dalla forma euleriana (o "formula di eulero"). che poi è la stessa medesima cosa insomma.
Basta disegnare nel piano di Gauss il numero complesso $1-i $ ed è immediato trovare $rho $ e anche $theta $ senza tanti sforzi di memoria...e poi scriverlo come $rho e^(i theta)= rho(cos theta+isin theta) $ .
Capisco uber che è tentato di bocciare se uno non sa questo
Capisco uber che è tentato di bocciare se uno non sa questo
"Camillo":
Basta disegnare nel piano di Gauss il numero complesso $1-i $ ed è immediato trovare $rho $ e anche $theta $ senza tanti sforzi di memoria...e poi scriverlo come $rho e^(i theta)= rho(cos theta+isin theta) $ .
Capisco uber che è tentato di bocciare se uno non sa questo
ah ma quella si.
io mi riferivo a $z^n = \rho^n (cos (n\theta) +i sin (n\theta) )$
che poi vabbeh... basta fare 3/4 esercizi e ste formule si imparano
allora.. io ho risolto utilizzando questa formula: $ z^n=p^n(cos(nθ)+isen(nθ)) $
come prima cosa calcolo il modulo e l'argomento:
$ p=sqrt(2) $ e $ θ=pi/4 $
sapendo che il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli, mentre l'argomento del prodotto è la somma degli argomenti ho:
$ p^6 = (sqrt(2))^6 = 8 $ e $ (nθ)=6(pi/4)=3/2 pi $
infine:
$ z^6=8(cos(3/2 pi)+isen(3/2 pi))=8(0-i)= -8i$
PROBLEMA
: Il risultato è $"8i"$ 
come prima cosa calcolo il modulo e l'argomento:
$ p=sqrt(2) $ e $ θ=pi/4 $
sapendo che il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli, mentre l'argomento del prodotto è la somma degli argomenti ho:
$ p^6 = (sqrt(2))^6 = 8 $ e $ (nθ)=6(pi/4)=3/2 pi $
infine:
$ z^6=8(cos(3/2 pi)+isen(3/2 pi))=8(0-i)= -8i$
PROBLEMA
: Il risultato è $"8i"$
il numero $z = 1-i$ ha argomento $Arg(z) = - \pi/4$, col meno
perfetto, grazie! ora vorrei sapere solo un'altra cosa: ho bisogno di sapere se devo conoscere altri metodi per svolgere questa tipologia di esercizi? perché ho visto che nella discussione qualcuno ha tirato fuori altre procedure.
Vi vorrei mostrare la tipologia di esercizi di esame:
$ z^4+zi=z $
$ (z^2 +1+i)(z^3 −1)=0 $
$ (z^3 −i)(z^2 +1) = 0 $
grazie
Vi vorrei mostrare la tipologia di esercizi di esame:
$ z^4+zi=z $
$ (z^2 +1+i)(z^3 −1)=0 $
$ (z^3 −i)(z^2 +1) = 0 $
grazie
boh, quel che io ti consiglio di ricordare sempre è che ogni numero $z$ si può scrivere come $z = \rho e^{i \theta}$ (forma euleriana) o, in modo del tutto equivalente $z = \rho (cos \theta + i sin \theta)$ (forma trigonometrica). o ancora $z = x +iy$ (questa non so se ha un nome o.o chiamiamola "forma cartesiana" 
).
tutto il resto poi è la solita matematica che già conosci, solo c'è una $i$ in più. quindi non aver paura di raccogliere, moltiplicare, dividere, sottrarre, sommare... basta che tieni a mente che la radice $n$-esima di qualsiasi numero complesso ha sempre $n$ soluzioni distinte. e quindi $^3\sqrt 1$ ha tre soluzioni e non solo $^3\sqrt 1 = 1$.
la tipologia degli esercizi d'esame sui numeri complessi è sempre quella più o meno, altra questione è analisi complessa.
non farti spaventare, sono semplicissime equazioni. se invece di essere in $C$, quelle equazioni fossero in $R$, avresti problemi a risolverle? basta ricordare poche cosette. $C$ è più "bello" di $R$ proprio per quelle "cosette" (n radici, hai sempre soluzioni, etc)
).tutto il resto poi è la solita matematica che già conosci, solo c'è una $i$ in più. quindi non aver paura di raccogliere, moltiplicare, dividere, sottrarre, sommare... basta che tieni a mente che la radice $n$-esima di qualsiasi numero complesso ha sempre $n$ soluzioni distinte. e quindi $^3\sqrt 1$ ha tre soluzioni e non solo $^3\sqrt 1 = 1$.
la tipologia degli esercizi d'esame sui numeri complessi è sempre quella più o meno, altra questione è analisi complessa.
non farti spaventare, sono semplicissime equazioni. se invece di essere in $C$, quelle equazioni fossero in $R$, avresti problemi a risolverle? basta ricordare poche cosette. $C$ è più "bello" di $R$ proprio per quelle "cosette" (n radici, hai sempre soluzioni, etc)
non volevo aprire una nuova discussione.. volevo sapere se sta bene questo esercizio:
$ z^4+zi=z $ , raccolgo $z$ ed ho $ z(z^3+i)=z$ , divido entrambi per $z$ e mi rimane $z^3+i=1$, procedo con la forma trigonometrica, $z^3=-2+2i$, sostituisco ed ho come risultato $ -3 + 3i $ ..potete dare un'occhiata?? grazie
$ z^4+zi=z $ , raccolgo $z$ ed ho $ z(z^3+i)=z$ , divido entrambi per $z$ e mi rimane $z^3+i=1$, procedo con la forma trigonometrica, $z^3=-2+2i$, sostituisco ed ho come risultato $ -3 + 3i $ ..potete dare un'occhiata?? grazie
ricorda che non puoi sempre dividere.. ti perdi delle soluzioni!
aia... e come procedo allora?
poniti la domanda: quando posso dividere per $z$? La risposta e' tutta nel porsi la domanda giusta (questo e' un insegnamento di vita, piu' che di matematica )
)
capisco l'insegnamento di vita ...ma non sto riuscendo a capire in che modo posso arrivare a dire che per z non si può dividere sempre..
...ma non sto riuscendo a capire in che modo posso arrivare a dire che per z non si può dividere sempre..
Seconda regola delle equazioni: si puo' moltiplicare e dividere ambo i membri per numero diverso da ....
diverso da 0.. quindi devo vedere quando z è diverso da 0 ?
cmq ho trovato un'altra strada per la soluzione:
$z^4+zi=z$ -> $z(z^3+i-1)=0 $ ed ho come soluzioni $3i-3$ e $z=0$
cmq ho trovato un'altra strada per la soluzione:
$z^4+zi=z$ -> $z(z^3+i-1)=0 $ ed ho come soluzioni $3i-3$ e $z=0$
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