Potenza numeri complessi
sto svolgendo questo esercizio: $ (1-i)^6 $ vorrei capire con quale metodo conviene portarlo in forma algebrica? devo usare necessariamente il quadrato di un binomio?
Risposte
arrivato a questo punto:
una delle soluzioni che hai trovato è giusta $z=0$, per quanto riguarda $z^3+i-1=0$ io avrei fatto in questo modo:
$z^3+i-1=0$
$z^3=1-i$ $rarr$ $z=root(3)(1-i)$
dunque devi trovare le radici terze di $z$, scrivi in forma trigonometrica $z$ cioè $z=[rho;theta]= rho(costheta+i sin theta)$ e applichi la seconda formula di De Moivre da cui si deduce che le radici n-esime del numnero complesso $[rho;theta]$ sono esattamente $n$ e precisamente sono i numeri:
$omega_k=[root(n)(rho);(theta+2kpi)/(n)]_(k=0,1,...,n)$... dunque il tuo numero complesso ha:
$rho=sqrt2$ e $theta=7/4pi$ dunque le soluzioni sono:
$omega_k=[root(6)(2);(7/4pi+2kpi)/(3)]_(k=0,1,2.)$
$omega_(k_0)=[root(6)(2);(7/12pi)]=root(6)(2)(cos(7/12pi)+isin(7/12pi))$;
$omega_(k_1)=[root(6)(2);(7/4pi+2pi)1/3]=[root(6)(2);(15/4pi)1/3]=root(6)(2)(-cos(15/12pi)+isin(15/12pi))$;
$omega_(k_2)=[root(6)(2);(7/4pi+4pi)1/3]=[root(6)(2);(23/12pi)]=root(6)(2)(-cos(23/12pi)-isin(23/12pi))$. Fine.
se c'è qualche errore è perchè ho scritto di fretta......
"rizzellidj":
$z^4+zi=z$ -> $z(z^3+i-1)=0 $
una delle soluzioni che hai trovato è giusta $z=0$, per quanto riguarda $z^3+i-1=0$ io avrei fatto in questo modo:
$z^3+i-1=0$
$z^3=1-i$ $rarr$ $z=root(3)(1-i)$
dunque devi trovare le radici terze di $z$, scrivi in forma trigonometrica $z$ cioè $z=[rho;theta]= rho(costheta+i sin theta)$ e applichi la seconda formula di De Moivre da cui si deduce che le radici n-esime del numnero complesso $[rho;theta]$ sono esattamente $n$ e precisamente sono i numeri:
$omega_k=[root(n)(rho);(theta+2kpi)/(n)]_(k=0,1,...,n)$... dunque il tuo numero complesso ha:
$rho=sqrt2$ e $theta=7/4pi$ dunque le soluzioni sono:
$omega_k=[root(6)(2);(7/4pi+2kpi)/(3)]_(k=0,1,2.)$
$omega_(k_0)=[root(6)(2);(7/12pi)]=root(6)(2)(cos(7/12pi)+isin(7/12pi))$;
$omega_(k_1)=[root(6)(2);(7/4pi+2pi)1/3]=[root(6)(2);(15/4pi)1/3]=root(6)(2)(-cos(15/12pi)+isin(15/12pi))$;
$omega_(k_2)=[root(6)(2);(7/4pi+4pi)1/3]=[root(6)(2);(23/12pi)]=root(6)(2)(-cos(23/12pi)-isin(23/12pi))$. Fine.
se c'è qualche errore è perchè ho scritto di fretta......
ma io ho calcolato $z^3$ con la forma trigonometrica e poi sostituendo ottengo la soluzione $3i-3$ e poi ho trasformato $z=0$ in forma algebrica ottenendo $2i-2$ tutto con la formula trigonometrica senza incontrare mai radici.. bho
come ho fatto io sta male?
niente?
no che non va bene....credo che il tuo problema sta in alcuni punti:
-1). allora hai $z^3=1-i$ che è uguale a $root(3)(z^3)=root(3)(1-i)$ (ora per una delle proprietà delle radici non si ha che $root(n)(a^n)=|a|$, giusto???? ti trovi?) quindi hai che $z=root(3)(1-i)$.
-2). tu stai dicendo che $z^3=1-i$ equivale a risolvere $z=(1-i)^3$ come giustifichi questa cosa, quali operazioni matematiche hai fatto per togliere il cubo al primo membro e metterlo al secondo?
ti faccio un esempio per spiegarmi meglio, quando in $RR$ hai:
$x^2-2=0$ non dici $x=2^2$ perciò $x=4$ ma dici che $x=-sqrt2 uu x=+sqrt2$....in $CC$ è la stessa cosa, infatti ti ricordo che l'algebra del campo complesso è come l'algebra di $RR$ ma con una piccola cosa in più: $i^2=-1$....
-3). potevi fare quello che dicevi tu se il tuo esercizio di partenza fosse stato $z=(1-i)^3$ questa scrittura è diversa da questa $z^3=1-i$... nella prima devi applicare la prima formula di De Moivre (quella che hai scritto tu) nella seconda devi applicare la seconda formula di De Moivre, quella che ho scritto io...
se sbaglio qualcosa qualcuno mi corregga...
-1). allora hai $z^3=1-i$ che è uguale a $root(3)(z^3)=root(3)(1-i)$ (ora per una delle proprietà delle radici non si ha che $root(n)(a^n)=|a|$, giusto???? ti trovi?) quindi hai che $z=root(3)(1-i)$.
-2). tu stai dicendo che $z^3=1-i$ equivale a risolvere $z=(1-i)^3$ come giustifichi questa cosa, quali operazioni matematiche hai fatto per togliere il cubo al primo membro e metterlo al secondo?
ti faccio un esempio per spiegarmi meglio, quando in $RR$ hai:
$x^2-2=0$ non dici $x=2^2$ perciò $x=4$ ma dici che $x=-sqrt2 uu x=+sqrt2$....in $CC$ è la stessa cosa, infatti ti ricordo che l'algebra del campo complesso è come l'algebra di $RR$ ma con una piccola cosa in più: $i^2=-1$....
-3). potevi fare quello che dicevi tu se il tuo esercizio di partenza fosse stato $z=(1-i)^3$ questa scrittura è diversa da questa $z^3=1-i$... nella prima devi applicare la prima formula di De Moivre (quella che hai scritto tu) nella seconda devi applicare la seconda formula di De Moivre, quella che ho scritto io...
se sbaglio qualcosa qualcuno mi corregga...
[xdom="dissonance"]@rizzellidj: Non fare UP prima di 24 ore dall'ultimo post.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo