Potenza di un numero complesso
Ciao a tutti, mi aiutereste a capire come calcolare la potenza di questo numero complesso:
$ (1+itan(2))^11 $
Volevo applicare la formula di de Moivre, ma non mi raccapezzo con il calcolo del modulo, ho un blocco mentale](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
$ (1+itan(2))^11 $
Volevo applicare la formula di de Moivre, ma non mi raccapezzo con il calcolo del modulo, ho un blocco mentale
Risposte
Scrivi la tangente come seno/coseno. Ti dovrebbe aiutare.
Grazie, ci avevo pensato anch'io... vediamo se ne esco
Bene ho fatto così:
$ tan(2)=(sin(2))/(cos(2) $
quindi $ r=sqrt(1^2+((sin(2))/(cos(2)))^2 $
$ =sqrt(1+(sin^2(2))/(cos^2(2)))=sqrt((cos^2(2)+sin^2(2))/(cos^2(2) $
per l'identità fondamentale della trigonometria abbiamo:
$ sin^2(vartheta )+cos^2(vartheta)=1 $
$ r=sqrt(1/cos^2(2))=1/cos(2) $
Corretto?
$ tan(2)=(sin(2))/(cos(2) $
quindi $ r=sqrt(1^2+((sin(2))/(cos(2)))^2 $
$ =sqrt(1+(sin^2(2))/(cos^2(2)))=sqrt((cos^2(2)+sin^2(2))/(cos^2(2) $
per l'identità fondamentale della trigonometria abbiamo:
$ sin^2(vartheta )+cos^2(vartheta)=1 $
$ r=sqrt(1/cos^2(2))=1/cos(2) $
Corretto?
No.
Potresti dirmi l'errore?
"Anto007":
Bene ho fatto così:
$ tan(2)=(sin(2))/(cos(2) $ Ok
quindi $ r=sqrt(1^2+((sin(2))/(cos(2)))^2 $ Ok
$ =sqrt(1+(sin^2(2))/(cos^2(2)))=sqrt((cos^2(2)+sin^2(2))/(cos^2(2) $ OK
per l'identità fondamentale della trigonometria abbiamo:
$ sin^2(vartheta )+cos^2(vartheta)=1 $ OK
$ r=sqrt(1/cos^2(2))=1/cos(2) $ No
Corretto?
Attento che $\cos(2)$ è negativo perché $\frac{\pi}{2}<2<\frac{3}{2}\pi$. Mettici un valore assoluto
Ora che hai il modulo della base, qual è quello della potenza?
Innanzitutto ti ringrazio per la cortesia di avermi fatto notare l'errore, stavo impazzendo con quel "no" secco.... quindi il risultato del modulo è $ r=1/(|cos(2)|) $ ?
Poi ho proseguito così:
ho scelto l'intervallo $ vartheta in (-pi ,pi ] $ , $ vartheta=arctan(y/x) $
poiché $ arctan(tan(vartheta ))=vartheta $ se $ -pi/2
$ =1/(cos(2))^11[cos(11*2)+isin(11*2)] $
$ =1/(cos(2))^11[cos(22)+isin(22)] $
Fine... ho fatto bene?
Poi ho proseguito così:
ho scelto l'intervallo $ vartheta in (-pi ,pi ] $ , $ vartheta=arctan(y/x) $
poiché $ arctan(tan(vartheta ))=vartheta $ se $ -pi/2
$ =1/(cos(2))^11[cos(11*2)+isin(11*2)] $
$ =1/(cos(2))^11[cos(22)+isin(22)] $
Fine... ho fatto bene?
Si.
Grazie mille dell'aiuto
@Anto007, hai incidentalmente ottenuto una buona rappresentazione della potenza undicesima, ma non è esattamente in forma normale, inoltre alcuni passaggi matematici hanno delle piccolissime imprecisioni.
Proprio perché hai fissato $(-\pi,\pi]$ come intervallo di variazione dell'argomento principale, l'argomento principale della base $1+\tan(2) i$ non è 2, bensì $2-\pi$ (è l'unica soluzione dell'equazione $\tan(\theta)=\tan(2)$ vincolata alla condizione $-\pi<\theta\le 0$ - osserva che $1+i\tan(2)$ è un punto del quarto quadrante di Argand-Gauss).
In pratica $$1+\tan(2)i=\frac{1}{|\cos(2)|}\left(\cos(2-\pi)+i\sin(2-\pi)\right)$$ da cui $$(1+\tan(2)i)^{11}=\frac{1}{|\cos(2)|^{11}}(\cos(22-11\pi)+i\sin(22-11\pi))$$. Questa rappresentazione è corretta, ma l'angolo $22-11\pi\notin (-\pi,\pi]$, per cui non è l'argomento principale della potenza 11-esima.
Poco male, sfrutti le formule degli archi associati così da ricavare $\theta$ tale che: $$\begin{cases}-\pi<\theta\le \pi\\ \ 22-11\pi=\theta+2k\pi\end{cases}$$ con $k\in\mathbb{Z}$.
L'unico $\theta$ che rispetta entrambe le condizioni è $\theta=22-7\pi$, perciò $$(1+\tan(2)i)^{11}=\frac{1}{|\cos(2)|^{11}}(\cos(22-7\pi)+i\sin(22-7\pi))$$
Questa rappresentazione ha il pregio di dirti immediatamente quali sono il modulo e l'argomento principale del numero complesso. Non puoi dedurli, invece, dalla tua rappresentazione (che ripeto, è corretta).
Proprio perché hai fissato $(-\pi,\pi]$ come intervallo di variazione dell'argomento principale, l'argomento principale della base $1+\tan(2) i$ non è 2, bensì $2-\pi$ (è l'unica soluzione dell'equazione $\tan(\theta)=\tan(2)$ vincolata alla condizione $-\pi<\theta\le 0$ - osserva che $1+i\tan(2)$ è un punto del quarto quadrante di Argand-Gauss).
In pratica $$1+\tan(2)i=\frac{1}{|\cos(2)|}\left(\cos(2-\pi)+i\sin(2-\pi)\right)$$ da cui $$(1+\tan(2)i)^{11}=\frac{1}{|\cos(2)|^{11}}(\cos(22-11\pi)+i\sin(22-11\pi))$$. Questa rappresentazione è corretta, ma l'angolo $22-11\pi\notin (-\pi,\pi]$, per cui non è l'argomento principale della potenza 11-esima.
Poco male, sfrutti le formule degli archi associati così da ricavare $\theta$ tale che: $$\begin{cases}-\pi<\theta\le \pi\\ \ 22-11\pi=\theta+2k\pi\end{cases}$$ con $k\in\mathbb{Z}$.
L'unico $\theta$ che rispetta entrambe le condizioni è $\theta=22-7\pi$, perciò $$(1+\tan(2)i)^{11}=\frac{1}{|\cos(2)|^{11}}(\cos(22-7\pi)+i\sin(22-7\pi))$$
Questa rappresentazione ha il pregio di dirti immediatamente quali sono il modulo e l'argomento principale del numero complesso. Non puoi dedurli, invece, dalla tua rappresentazione (che ripeto, è corretta).
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