Potenza di numeri complessi

[Oo.Stud.ssa.oO]

\(\displaystyle z=(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt(3)}{2}i) \)
\(\displaystyle z^{10}= \)

io so che \(\displaystyle z^{10}=|z|(cos(10\theta) + i sin(10\theta)) \)

\(\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2} \)

quindi \(\displaystyle |z|=1 \)

\(\displaystyle \theta= arctan (\frac{b}{a}) \)

quindi \(\displaystyle \theta= arctan (-\sqrt3) \)\(\displaystyle = \frac{\pi}{3} \)

ora: \(\displaystyle z^{10}=1(cos(10*\frac{\pi}{3}) + i sin(10*\frac{\pi}{3})) \)
ma l' argomento di seno e coseno non è un angolo noto...........come si risolve?

[Zero87]

Invece è piuttosto noto (anche se non sembra! ): è un multiplo di $\frac{\pi}{3}$ quindi è sufficientemente noto.

Devi capire quanto vale quel $10/3 \pi$: inizia con il rapportarti in $[0,2\pi]$ dopodiché trai le giuste conclusioni.

[Oo.Stud.ssa.oO]

Giusto...........corrisponde a \(\displaystyle \frac{7}{4}\pi \) giusto?

[Zero87]

"Oo.tania":Giusto...........corrisponde a \(\displaystyle \frac{7}{4}\pi \) giusto?

Uhm, mi fai vedere che ragionamento hai fatto?

(A meno che non sia sbagliato il $10/3 \pi$ o che non abbia sbagliato io... )

[Oo.Stud.ssa.oO]

semplicemente sulla circonferenza dei valori in radianti ho contato per 10 volte \(\displaystyle \frac{\pi}{3} \)
proprio manualmente sul disegno della circonferenza...

Ma è giusto \(\displaystyle arctan(-\sqrt(3)=\frac{\pi}{3} \) ?
O risulta \(\displaystyle -\frac{\pi}{3} \)?

[Zero87]

"Oo.tania":semplicemente sulla circonferenza dei valori in radianti ho contato per 10 volte \(\displaystyle \frac{\pi}{3} \)

Mamma mia, sto andando in confusione...

Eppure, se devo rapportarmi a $[0,2\pi]$ (sottraendo i $2\pi$ del periodo di seno e coseno ($^1$)) a partire da $10/3 \pi$ ottengo $10/3 \pi -2\pi =4/3 \pi \in [0,2\pi]$...

EDIT.
Ah, mi era sfuggito, $arctan(-\sqrt(3))=-\pi/3$. Comunque si arriverebbe a $-10/3 \pi$ da cui, per riportarmi all'intervallo classico $[0,2\pi]$ sommo $4\pi$ ottenendo $-10/3 \pi + 4\pi =2/3 \pi \in [0,2\pi]$.

_____
($^1$) Cioè $cos(\alpha +2k\pi)=cos(\alpha)$ e vale anche per il seno ($k\in \ZZ$).

[21zuclo]

$\theta = 10/3 \pi = 4/3 \pi$

perchè il multiplo di 3 è 6, per cui $10-6 = 4$ ed ecco $4/3\pi$

[Zero87]

"21zuclo":$\theta = 10/3 \pi = 4/3 \pi$

perchè il multiplo di 3 è 6, per cui $10-6 = 4$ ed ecco $4/3\pi$

Forte quando si risponde in contemporanea dicendo la stessa cosa .

Comunque il succo del discorso sta nel dire che l'angolo, sia che sia $4/3 \pi$ sia che sia $2/3 \pi$ (mi sa che è quest'ultimo), è comunque un angolo conosciuto anche se la sua scrittura iniziale sembra dire tutt'altro.
Basta riportarsi all'intervallo $[0,2\pi]$.

'Notte ragazzi

[gugo82]

"21zuclo":$\theta =10/3 \pi = 4/3 \pi$

Mmmm... Perché qui leggo una cosa falsa?

[Zero87]

"gugo82":[quote="21zuclo"]$\theta =10/3 \pi = 4/3 \pi$

Mmmm... Perché qui leggo una cosa falsa?[/quote]

Intendilo come un $10/3 \pi -= 4/3 \pi$ (mod $2\pi$).

Ovviamente questa cosa che ho scritto è ancora più sbagliata di quella di prima , però era solo per dire che ci si riporta a $[0,2\pi]$ sfruttando le periodicità di seno e coseno.

Alla fine ho visto che in matematica succede di scrivere cose sbagliate se servono a far afferrare il concetto ($^1$). Per esempio, si scrive sempre $f(x)=O(g(x))$ quando invece sarebbe più corretto dire $f(x) \in O(g(x))$ no?

_____
($^1$). Ovviamente sono strasicuro che avevi capito tutto fin dall'inizio e che il tuo intervento precedente era solo per "correggere la forma" di quello di 21zuclo, si fa per dire!

[gugo82]

Certo che avevo capito, Zero87.

Ma a quel punto si sarebbe potuto scrivere più correttamente:
\[
\theta =\frac{10}{3}\ \pi = \frac{12-2}{3}\ \pi= \underbrace{-\frac{2}{3}\ \pi}_{\color{maroon}{=:\vartheta}} +4\ \pi
\]
e notare che \(\vartheta\) è anch'esso un argomento di \(z^{10}\) (in quanto differisce di un multiplo intero di \(2\pi\) da un altro argomento) e che, anzi, \(\vartheta\) è l'argomento principale di \(z^{10}\) (appartenendo esso all'intervallo principale \(]-\pi,\pi]\)).