Potenza dell' insieme dei numeri irrazionali.
Una volta dimostrato che '' $RR$ '' ha potenza maggiore di '' $NN$ '', si ricava subito che l'insieme dei numeri irrazionali non ha la potenza del numerabile ( altrimenti unito a '' $QQ$ '', che e' numerabile, renderebbe '' $RR$ '' numerabile, ma questo non avviene perche' '' $RR$ '' ha la potenza del continuo ). Quindi che potenza ha l'insieme dei numeri irrazionali?
Non dovrebbe essere quella del continuo, in quanto per il teorema della densita' tra due numeri reali ( sia i razionali che gli irrazionali sono reali ) ci sono sempre sempre infiniti razionali irrazionali. Quindi anche tra due irrazionali dovrebbe sempre esserci un razionale. Insomma, e' come se anche l'insieme degli irrazionali presentasse dei '' buchi '' al suo interno.
EDIT: forse la potenza del continuo degli irrazionali dipende da questo: anche se ci sono '' buchi '' non si puo' comunque ricavare l'irrazionale successivo partendo da un altro che e' stato gia' impostato.
Non dovrebbe essere quella del continuo, in quanto per il teorema della densita' tra due numeri reali ( sia i razionali che gli irrazionali sono reali ) ci sono sempre sempre infiniti razionali irrazionali. Quindi anche tra due irrazionali dovrebbe sempre esserci un razionale. Insomma, e' come se anche l'insieme degli irrazionali presentasse dei '' buchi '' al suo interno.
EDIT: forse la potenza del continuo degli irrazionali dipende da questo: anche se ci sono '' buchi '' non si puo' comunque ricavare l'irrazionale successivo partendo da un altro che e' stato gia' impostato.
Risposte
Questo ragionamento,proprio perchè viola nella sua conclusione l'ipotesi del continuo
(i.e. che non esistono,per farla breve e non andare troppo su un formalismo comunque non complicato,
"potenze intermedie" tra quella del numerabile e quella del continuo,
la qual cosa dovrebbe esserti utile a capire la potenza di $RR setminus QQ$
..),
ha un baco alla fine;
forse vedi "buchi" dove,ai tuoi fini(che ti ricordo esser quelli della ricerca d'una corrispondenza biiettiva..),
non ve ne sono:
ad esempio pure $[0,1]uu([4/3,2]nnQQ)$ ha dei "buchi",e ciò nonostante ha la potenza del continuo
(altrimenti il buon George Cantor avrebbe,
almeno a quanto racconta la leggenda sui drammi personali seguiti alla sua scoperta dell'equipotenza tra $[0,1]$ ed $RR$,
"perso il senno" per niente..)!
Saluti dal web.
(i.e. che non esistono,per farla breve e non andare troppo su un formalismo comunque non complicato,
"potenze intermedie" tra quella del numerabile e quella del continuo,
la qual cosa dovrebbe esserti utile a capire la potenza di $RR setminus QQ$
..),ha un baco alla fine;
forse vedi "buchi" dove,ai tuoi fini(che ti ricordo esser quelli della ricerca d'una corrispondenza biiettiva..),
non ve ne sono:
ad esempio pure $[0,1]uu([4/3,2]nnQQ)$ ha dei "buchi",e ciò nonostante ha la potenza del continuo
(altrimenti il buon George Cantor avrebbe,
almeno a quanto racconta la leggenda sui drammi personali seguiti alla sua scoperta dell'equipotenza tra $[0,1]$ ed $RR$,
"perso il senno" per niente..)!
Saluti dal web.
Ok, ti ringrazio. 
Quindi l'importante e' che gli irrazionali, preso un qualsiasi intervallo e considerando tutti i possibili irrazionali in quell'intervallo, non possiedono la peculiarita' di poter essere tutti disposti secondo una certa legge ( quindi non c'e' corrispondenza biunivoca con '' $NN$ '' ), a differenza di '' $NN$ '' e '' $QQ$ ''.
Mi rendo conto che i '' buchi '' non c'entrano nulla ( buchi relativamente a '' $RR$ '', che verrebbero '' tappati '' con '' $QQ$ '' ).
Effettivamente e' finito davvero in un reparto psichiatrico.
P.S.: questa branca della matematica la trovo incredibilmente interessante. Sul mio libro di Analisi vi e' dedicato soltanto mezzo capitolo. Quale branca della Matematica si occupa dell'argomento in questione?
Avresti qualche libro da consigliarmi, per un eventuale futuro approfondimento? E' un argomento davvero bello.
Quindi l'importante e' che gli irrazionali, preso un qualsiasi intervallo e considerando tutti i possibili irrazionali in quell'intervallo, non possiedono la peculiarita' di poter essere tutti disposti secondo una certa legge ( quindi non c'e' corrispondenza biunivoca con '' $NN$ '' ), a differenza di '' $NN$ '' e '' $QQ$ ''.
Mi rendo conto che i '' buchi '' non c'entrano nulla ( buchi relativamente a '' $RR$ '', che verrebbero '' tappati '' con '' $QQ$ '' ).
(altrimenti il buon George Cantor avrebbe,
almeno a quanto racconta la leggenda sui drammi personali seguiti alla sua scoperta dell'equipotenza tra [0,1] ed R,
"perso il senno" per niente..)!
Effettivamente e' finito davvero in un reparto psichiatrico.
P.S.: questa branca della matematica la trovo incredibilmente interessante. Sul mio libro di Analisi vi e' dedicato soltanto mezzo capitolo. Quale branca della Matematica si occupa dell'argomento in questione?
Avresti qualche libro da consigliarmi, per un eventuale futuro approfondimento? E' un argomento davvero bello.
Gio73, grazie per il suggerimento.
Teoria dei numeri ordinali(finiti e transfiniti);
a me la introdusse il Prof Benedetto M. durante il corso di Storia Didattica della Matematica,
e la approfondii bene in quello di Matematiche Complementari II tenuto dallo stesso Docente:
mi bastarono i suoi appunti per estasiarmene
(ma era facile,perché aveva ragione il grande Faber a dire che quando s'è giovani ci s'innamora di tutto..),
che se ben ricordo completai con qualche pagina del Lang.
In questi giorni lo cerco e,se la memoria non m'ha ingannato e nessuno ti da altri input,ti faccio sapere;
comunque non sò dirti in quali corsi si trattano oggi,nei C.d.L. post riforma,
ma non credo che questi argomenti possano essere del tutto assenti anche dalle materie a scelta:
un occhiata al tuo vademecum la darei,
al più pure sulle pagine dedicate alla Specialistica e/o,più avanti,Magistrale
(quest'ultima te la dico perché studiai quelle materie in quanto era dovuto farlo per almeno due quando,prima del '99,
si sceglieva l'indirizzo didattico,e completai il trittico per non lasciarmi curiosità aperte..) .
Saluti dal web.
a me la introdusse il Prof Benedetto M. durante il corso di Storia Didattica della Matematica,
e la approfondii bene in quello di Matematiche Complementari II tenuto dallo stesso Docente:
mi bastarono i suoi appunti per estasiarmene
(ma era facile,perché aveva ragione il grande Faber a dire che quando s'è giovani ci s'innamora di tutto..),
che se ben ricordo completai con qualche pagina del Lang.
In questi giorni lo cerco e,se la memoria non m'ha ingannato e nessuno ti da altri input,ti faccio sapere;
comunque non sò dirti in quali corsi si trattano oggi,nei C.d.L. post riforma,
ma non credo che questi argomenti possano essere del tutto assenti anche dalle materie a scelta:
un occhiata al tuo vademecum la darei,
al più pure sulle pagine dedicate alla Specialistica e/o,più avanti,Magistrale
(quest'ultima te la dico perché studiai quelle materie in quanto era dovuto farlo per almeno due quando,prima del '99,
si sceglieva l'indirizzo didattico,e completai il trittico per non lasciarmi curiosità aperte..)
. Saluti dal web.
Ti ringrazio, sei gentilissimo.
Comunque non essendo uno studente di matematica non rientrera' ( con ogni probabilita' ) nel mio percorso di studi '' ufficiale ''. Ho intenzione di approfondire questo meraviglioso argomento ( e anche rivoluzionario nella storia della matematica ) a tempo debito per conto mio.
Comincero' ad informarmi per qualche libro.
Solo una piccola precauzione d'uso:
le argomentazioni che suscitano il tuo interesse convergono verso un Teorema di Logica che,a mio avviso,
è tra i più affascinanti e "pericolosi" del pensiero matematico,
ed io ho sempre pensato che non fosse un caso se il corso di Matematiche Complementari II veniva piazzato all'ultimo anno del C.d.L. in Matematica ante-riforma..
Saluti dal web.
le argomentazioni che suscitano il tuo interesse convergono verso un Teorema di Logica che,a mio avviso,
è tra i più affascinanti e "pericolosi" del pensiero matematico,
ed io ho sempre pensato che non fosse un caso se il corso di Matematiche Complementari II veniva piazzato all'ultimo anno del C.d.L. in Matematica ante-riforma..
Saluti dal web.
Se non sbaglio si tratta dell'indecidibilita' dell'ipotesi del continuo ( ovvero non c'e' una potenza intermedia tra quella numerabile e quella del continuo ). In base alle mie informazioni ( di livello divulgativo ) so che Godel dimostro' che tale ipotesi non era falsa. Ma qualche anno dopo un altro matematico dimostro' che non poteva essere vera...quindi siamo di fronte ad un caso indecidibile ( e questo si collega alle ricerche di Godel precedenti ).
Ciao.
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