Potenza del modulo della sommatoria numeri complessi
Buongiorno. Scusatemi, se abbiamo $|\sum_{i=1}^N c_i \chi_(E_i)|^p$ con $c_i$ numeri complessi, 0
Grazie grazie grazie grazie grazie a chi mi risponderà
Grazie grazie grazie grazie grazie a chi mi risponderà
Risposte
Se gli insiemi $E_i$ sono a due a due disgiunti, puoi verificare senza sforzo che la tua funzione è uguale a:
\[
\sum_{i=1}^n |c_i|^p\ \chi_{E_i}\; .
\]
Questa uguaglianza vale solo q.o. se gli $E_i$ hanno a due a due intersezione di misura nulla.
\[
\sum_{i=1}^n |c_i|^p\ \chi_{E_i}\; .
\]
Questa uguaglianza vale solo q.o. se gli $E_i$ hanno a due a due intersezione di misura nulla.
Grazie mille. Per arrivare a tale uguaglianza (supponendo che non sappia la sua forma) devo per caso utilizzare qualcosa inerente alla potenza del modulo di numeri complessi? Ho posto il mio dubbio perchè dal contenuto degli appunti che ho, non sono riuscita a giungere all'uguaglianza sopra scritta .
Ancora grazie grazie mille
.Ancora grazie grazie mille
No.
Basta usare la definizione di funzione caratteristica.
Basta usare la definizione di funzione caratteristica.
Grazie. Per quanto riguarda $|\sum_{i=1}^N c_i|^p$ ho pensato (credo erroneamente) alla disuguaglianza triangolare e in tal modo non trovo che $|\sum_{i=1}^N c_i|^p$ = $\sum_{i=1}^N |c_i|^p$..
Ancora grazie grazie grazie mille
Ancora grazie grazie grazie mille
No, guarda... L'uguaglianza che scrivi non vale in generale.
Cos'è che vuoi fare?
Cos'è che vuoi fare?
Infatti, non mi trovo che si ha l'uguaglianza che ho scritto.. A tal punto, utilizzando la definizione di funzione caratteristica, come si procede nel manipolare la potenza del modulo della sommatoria dei prodotti $c_i\chi_Ei$?
Fissato $x\in E$, o si ha $x\in E_j$ per un unico indice $j$ oppure $x\notin \cup_{i=1}^n E_i$, cosicché:
\[
\sum_{i=1}^n c_i\ \chi_{E_i}(x) = \begin{cases} c_j &\text{, se } x\in E_j\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\;.
\]
Da ciò segue immediatamente che:
\[
\begin{split}
\left|\sum_{i=1}^n c_i\ \chi_{E_i}(x)\right|^p &= \begin{cases} |c_j|^p &\text{, se } x\in E_j\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&=\sum_{i=1}^n |c_i|^p\ \chi_{E_i}(x)\; .
\end{split}
\]
\[
\sum_{i=1}^n c_i\ \chi_{E_i}(x) = \begin{cases} c_j &\text{, se } x\in E_j\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\;.
\]
Da ciò segue immediatamente che:
\[
\begin{split}
\left|\sum_{i=1}^n c_i\ \chi_{E_i}(x)\right|^p &= \begin{cases} |c_j|^p &\text{, se } x\in E_j\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&=\sum_{i=1}^n |c_i|^p\ \chi_{E_i}(x)\; .
\end{split}
\]
Perfetto 
. Grazie .
Avevo in mente il manipolare il tutto con la definizione delle funzioni indicatrici ma sbagliavo sul fatto che non consideravo l'unione e mi bloccava l'uguaglianza riguardante la potenza del modulo dei $c_i$ che ho scritto nel mio penultimo messaggio e sulla quale ci troviamo che non è verificata in generale.
Chiedo scusa, se in particolare stiamo nel contesto di funzioni semplici, gli insiemi $E_i$ sono a due a due disgiunti in quanto per definizione di funzione semplice s, quest'ultima assume un numero finito di valori diversi $c_1$,....$c_n$ e per definizione $E_i$ = $s^-1(c_i)$, ho intuito in modo esatto il perchè gli $E_i$ sono a due a due disgiunti??
Ancora grazie
. Grazie .Avevo in mente il manipolare il tutto con la definizione delle funzioni indicatrici ma sbagliavo sul fatto che non consideravo l'unione e mi bloccava l'uguaglianza riguardante la potenza del modulo dei $c_i$ che ho scritto nel mio penultimo messaggio e sulla quale ci troviamo che non è verificata in generale.
Chiedo scusa, se in particolare stiamo nel contesto di funzioni semplici, gli insiemi $E_i$ sono a due a due disgiunti in quanto per definizione di funzione semplice s, quest'ultima assume un numero finito di valori diversi $c_1$,....$c_n$ e per definizione $E_i$ = $s^-1(c_i)$, ho intuito in modo esatto il perchè gli $E_i$ sono a due a due disgiunti??
Ancora grazie
Beh, credo di sì... Tutto dipende dalla definizione di funzione semplice che hai sotto mano.
P.S.: Esame con la Ianni?
P.S.: Esame con la Ianni?
Chiedo scusa, il credo di sì è dovuto al fatto che ci sia più di una definizione di funzione semplice?
No, no (per la professoressa)
No, no (per la professoressa)
Sì, ovviamente, è riferito a quello.
Grazie. Sui miei appunti vi è una definizione cioè che una funzione semplice è una funzione s:X->[0, $\infty$[ che assume un numero finito di valori e vengono definiti gli insiemi $E_i$ come li ho scritti sopra. Sarei curiosa per conoscenza di conoscere le altre definizioni ^_^..
Usi il Rudin?
Ad ogni buon conto, c'è chi chiama "semplice" ("simple", in inglese) una funzione che assume un insieme al più numerabile di valori e "veramente semplice" (da "really simple") quelle funzioni semplici che assumono solo un numero finito di valori.
Ad ogni buon conto, c'è chi chiama "semplice" ("simple", in inglese) una funzione che assume un insieme al più numerabile di valori e "veramente semplice" (da "really simple") quelle funzioni semplici che assumono solo un numero finito di valori.
No 
..
Ok, grazie
..Ok, grazie
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