Portar fuori dal simbolo di "test" di una distribuzione

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
mi domandavo sotto quali condizioni è lecito il passaggio
\[ \left \langle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\, (t - na),\, \phi \right \rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \langle \delta\, (t - na),\, \phi \rangle \]
dove \( \phi \) è una funzione test, cioè \( \phi \in D(\mathbb{R}) \).

[gugo82]

Beh, è sempre lecito se \(a\neq 0\).

Infatti, essendo \(\phi\) a supporto compatto, per ogni \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) esiste solo un numero finito di indici \(n\in \mathbb{Z}\) tali che \(\phi (na)\neq 0\); perciò la serie si riduce sempre ad una somma finita.

[Riccardo Desimini]

Vero.

In effetti la mia domanda non doveva essere sulle funzioni di \( D(\mathbb{R}) \), bensì su quelle a decrescenza rapida di \( S(\mathbb{R}) \). Come si risolve, cioè, se io considero il pettine di Dirac come una distribuzione temperata?

E se \( a = 0 \) cosa succede?

[gugo82]

Per il caso \(a=0\), nota che la serie \(\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t)\) coincide con una serie costante e perciò non può convergere per tutti i test: infatti, preso un test \(\phi \in C_c^\infty\) con \(0\) punto interno al supporto, hai:
\[
\begin{split}
\langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t),\ \phi(t)\rangle &:= \lim_{N,M\to \infty} \langle \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t)\rangle \\
&= \lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N \langle \delta (t),\ \phi(t)\rangle \\
&= \lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N \phi(0)\\
&= \phi(0)\ \lim_{N,M\to \infty} N+M+1
\end{split}
\]
con l'ultimo membro divergente (dal lato positivo o negativo a seconda del segno di \(\phi (0)\)). Ergo la scrittura \(\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t)\) non individua una distribuzione.

Per quanto riguarda il pettine di Dirac, la cosa è semplice: infatti se prendi un test \(u\) a decrescenza rapida, hai \(u(t)=\text{o}(1/t^2)\) in \(\pm \infty\), ergo la serie:
\[
\langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-na), u(t)\rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty u(na)
\]
converge assolutamente.

[Riccardo Desimini]

"gugo82":infatti, preso un test \(\phi \in C_c^\infty\)

Cos'è \( C_c^\infty \)? È per caso lo spazio che ho chiamato \( S (\mathbb{R}) \) (spazio delle funzioni \( C^\infty (\mathbb{R}) \) a decrescenza rapida)?

"gugo82":\[ \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t),\ \phi(t)\rangle := \lim_{N,M\to \infty} \langle \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t)\rangle \]

Io avrei scritto invece che per definizione
\[ \left \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t),\ \phi(t) \right \rangle := \left \langle \lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t) \right \rangle \]
Come mai si può portar direttamente fuori il simbolo di limite dal test?

"gugo82":\[ \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-na), u(t)\rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty u(na) \]

Qui non ho capito come mai vale quest'uguaglianza: mi sembra che tu abbia portato fuori il simbolo di serie (per un motivo che non ho capito) prima di applicare il risultato del test della delta traslata.

[gugo82]

"Riccardo Desimini":[quote="gugo82"]infatti, preso un test \(\phi \in C_c^\infty\)

Cos'è \( C_c^\infty \)? È per caso lo spazio che ho chiamato \( S (\mathbb{R}) \) (spazio delle funzioni \( C^\infty (\mathbb{R}) \) a decrescenza rapida)?[/quote]
No, lo spazio \(\mathcal{S}\) di Schwarz non c'entra.
Lo spazio \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\), che si indica anche con \(\mathcal{D}(\mathbb{R}^N)\), è lo spazio delle funzioni idefinitamente derivabili a supporto compatto.

"Riccardo Desimini":[quote="gugo82"]\[ \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t),\ \phi(t)\rangle := \lim_{N,M\to \infty} \langle \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t)\rangle \]

Io avrei scritto invece che per definizione
\[ \left \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t),\ \phi(t) \right \rangle := \left \langle \lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t) \right \rangle \][/quote]
Dato che il prodotto di dualità è bilineare, hai certamente:
\[
\langle \sum_{n=-M}^N \delta (t),\ \phi(t) \rangle = \sum_{n=-M}^N \langle \delta (t),\ \phi(t) \rangle
\]
e ricorda che il limite per le distribuzioni è definito in senso puntuale.

"Riccardo Desimini":Come mai si può portar direttamente fuori il simbolo di limite dal test?

Per quello che ho detto prima.

"Riccardo Desimini":[quote="gugo82"]\[ \langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-na), u(t)\rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty u(na) \]

Qui non ho capito come mai vale quest'uguaglianza: mi sembra che tu abbia portato fuori il simbolo di serie (per un motivo che non ho capito) prima di applicare il risultato del test della delta traslata.[/quote]
Con una somma finita hai:
\[
\langle \sum_{n=-M}^N \delta (t-na), u(t)\rangle = \sum_{n=-M}^N u(na)
\]
e passi al limite ottenendo quello che ho scritto.

[Riccardo Desimini]

"gugo82":Per quanto riguarda il pettine di Dirac, la cosa è semplice: infatti se prendi un test \(u\) a decrescenza rapida, hai \(u(t)=\text{o}(1/t^2)\) in \(\pm \infty\), ergo la serie:
\[
\langle \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-na), u(t)\rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty u(na)
\]
converge assolutamente.

Questo vale sempre se \( a \ne 0 \), vero?

"gugo82":e ricorda che il limite per le distribuzioni è definito in senso puntuale.

Cioè intendi che se \( T_n \) è una successione di distribuzioni si ha per definizione che \( T_n \to T \) in \( D'(\mathbb{R}) \) se e solo se per ogni funzione test \( \phi \in D(\mathbb{R}) \) si ha \( \langle T_n, \phi \rangle \to \langle T, \phi \rangle \) puntualmente?

E nel caso dello spazio di Schwarz la definizione di convergenza come si andrebbe a modificare? Per caso è una roba del tipo che se se \( T_n \) è una successione di distribuzioni temperate si ha per definizione che \( T_n \to T \) in \( S'(\mathbb{R}) \) se e solo se per ogni funzione test \( \psi \in S(\mathbb{R}) \) si ha \( \langle T_n, \psi \rangle \to \langle T, \psi \rangle \) puntualmente?