Polinomio, radici e molteplicità
Ho un problema con il seguente quesito:
Sia \(\displaystyle p(Z) \) un polinomio di grado 5 privo del termine noto e di cui si conoscono le radici distinte e non reali \(\displaystyle z_1 \) e \(\displaystyle z_2 \) con \(\displaystyle z_1 \not= \bar{z_2} \) allora \(\displaystyle p(Z) \) coincide con:
a)\(\displaystyle Z(Z-z_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z_1})(Z-\bar{z_2}) \)
b)\(\displaystyle Z^3 (Z-z_1)(Z-z_2) \)
c) \(\displaystyle Z(Z^2 -z_1)(Z^2 - z_2) \)
d)\(\displaystyle aZ\left(Z^2-2{\rm Re}(z_1)Z+|z_1|^2\right)\left(Z^2-2{\rm Re}(z_2)Z+|z_2|^2\right) \), \(\displaystyle a \not= 0 \)
e)\(\displaystyle Z(Z-z_1)^2 (Z-z_2)^2 \)
Io ho scelto la a in quanto se il polinomio ha coefficienti reali allora se \(\displaystyle z_1 \) e \(\displaystyle z_2 \) sono soluzioni allora lo sono anche i loro coniugati, quindi quattro soluzioni, più la sol di \(\displaystyle Z=0 \) per cui 5 soluzioni, ognuna con la sua molteplicità. Però è sbagliata. Qualcuno può spiegarmi meglio? Grazie!
Sia \(\displaystyle p(Z) \) un polinomio di grado 5 privo del termine noto e di cui si conoscono le radici distinte e non reali \(\displaystyle z_1 \) e \(\displaystyle z_2 \) con \(\displaystyle z_1 \not= \bar{z_2} \) allora \(\displaystyle p(Z) \) coincide con:
a)\(\displaystyle Z(Z-z_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z_1})(Z-\bar{z_2}) \)
b)\(\displaystyle Z^3 (Z-z_1)(Z-z_2) \)
c) \(\displaystyle Z(Z^2 -z_1)(Z^2 - z_2) \)
d)\(\displaystyle aZ\left(Z^2-2{\rm Re}(z_1)Z+|z_1|^2\right)\left(Z^2-2{\rm Re}(z_2)Z+|z_2|^2\right) \), \(\displaystyle a \not= 0 \)
e)\(\displaystyle Z(Z-z_1)^2 (Z-z_2)^2 \)
Io ho scelto la a in quanto se il polinomio ha coefficienti reali allora se \(\displaystyle z_1 \) e \(\displaystyle z_2 \) sono soluzioni allora lo sono anche i loro coniugati, quindi quattro soluzioni, più la sol di \(\displaystyle Z=0 \) per cui 5 soluzioni, ognuna con la sua molteplicità. Però è sbagliata. Qualcuno può spiegarmi meglio? Grazie!
Risposte
Dov'è scritto che il polinomio ha coefficienti reali?
Ciao Buraka,
Se il polinomio $p(Z) $ ha coefficienti reali (in effetti è scritto nella tua risposta, ma non nel testo del quesito che hai riportato...
) la risposta corretta è d). Peraltro vorrei farti notare che la risposta a) che hai scelto non è altro che la d) con $a = 1 $, infatti si ha:
$ Z(Z-z_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z}_1)(Z-\bar{z}_2) = Z(Z-z_1)(Z-\bar{z}_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z}_2) = $
$ = Z(Z^2 - (z_1 + \bar{z}_1)Z + |z_1|^2)(Z^2 - (z_2 + \bar{z}_2)Z + |z_2|^2) = $
$ = Z(Z^2 - 2\text{Re}(z_1)Z + |z_1|^2)(Z^2 - 2\text{Re}(z_2)Z + |z_2|^2) $
Se il polinomio $p(Z) $ ha coefficienti reali (in effetti è scritto nella tua risposta, ma non nel testo del quesito che hai riportato...
) la risposta corretta è d). Peraltro vorrei farti notare che la risposta a) che hai scelto non è altro che la d) con $a = 1 $, infatti si ha:$ Z(Z-z_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z}_1)(Z-\bar{z}_2) = Z(Z-z_1)(Z-\bar{z}_1)(Z-z_2)(Z-\bar{z}_2) = $
$ = Z(Z^2 - (z_1 + \bar{z}_1)Z + |z_1|^2)(Z^2 - (z_2 + \bar{z}_2)Z + |z_2|^2) = $
$ = Z(Z^2 - 2\text{Re}(z_1)Z + |z_1|^2)(Z^2 - 2\text{Re}(z_2)Z + |z_2|^2) $
Scusate, per sbaglio ho omesso che "il polinomio ha coefficienti reali" come detto nel testo. Quindi ho sbagliato perchè ho scelto la a che è un caso particolare della d. Grazie mille! 
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