Polinomio quarto grado dimostrazione
Quesito del compito di analisi:
Dimostrare che il polinomio \(\displaystyle p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx -1 \) con a > 0,
possiede almeno una radice positiva ed una radice negativa.
Dimostrare che il polinomio \(\displaystyle p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx -1 \) con a > 0,
possiede almeno una radice positiva ed una radice negativa.
Risposte
Tue idee?
avevo provato a dividere tutto per a dato che so che è diverso da zero, ma non sono riuscita comunque a andare più avanti..
Quanto viene \( \lim\limits_{x \to - \infty} p(x) \)? E \( \lim\limits_{x \to + \infty} p(x) \)? Inoltre, \( p(0)= -1\), dunque...
rispettivamente meno infinito e più infinito?
si infatti mi preoccupava la radice positiva.. :S
si infatti mi preoccupava la radice positiva.. :S
"nut232":Errato. Vedi sotto
rispettivamente meno infinito e più infinito?
Si! grazie!
No. Ferma. Ho preso un abbaglio. Entrambi i limiti vengono $+oo$
Questo perchè il polinomio è di grado pari e il coefficiente di grado massimo è positivo.
Questo perchè il polinomio è di grado pari e il coefficiente di grado massimo è positivo.
giusto, mi ero imbrogliata perchè pensavo che inf + inf fosse una forma indeterminata, quindi avevo moltiplicato tutto per x/x e quindi era di quinto ordine (mi sono complicata la vita) e cambiava segno in base al segno dell'inf
Comunque non è un problema perchè la radice negativa è per x =0
Comunque non è un problema perchè la radice negativa è per x =0
Ma sai cosa vuol dire radice di un polinomio?
soluzione.... perchè?
Ma come fa $0$ a essere soluzione? $p(0)= -1$, mica $p(0)=0$!
"nut232":
giusto, mi ero imbrogliata perchè pensavo che inf + inf fosse una forma indeterminata
....... quanto mi fanno incazzare queste cose! E' una di quelle cose per cui sono tentato di bocciare senza dare altre possibilita'.... spero che non te lo dimentichi piu'!
"Gi8":
Ma come fa $0$ a essere soluzione? $p(0)= -1$, mica $p(0)=0$!
infatti ho detto che l'unico problema era trovare la radice positiva, non quella negativa, perche l'avevo già da x=0, y=- 1, o come preferisci P(0) = -1
"Valerio Capraro":
[quote="nut232"]giusto, mi ero imbrogliata perchè pensavo che inf + inf fosse una forma indeterminata
....... quanto mi fanno incazzare queste cose! E' una di quelle cose per cui sono tentato di bocciare senza dare altre possibilita'.... spero che non te lo dimentichi piu'![/quote]
non me lo sono dimenticata, mi sono distratta e risolvendo velocemente avevo messo FI, si chiamano errori di distrazione. Siamo uomini, non macchine, è dopo ore e ore (dalle 8) che fai calcoli, almeno per me, sono molto comuni!
Ciao nut232.
La frase "radice di un polinomio significa soluzione" è priva di senso. Soluzione si dice riferendosi ad un'equazione (o più in generale ad un problema).
Radice di un polinomio $P(x)$ è ogni soluzione dell'equazione: $P(x)=0$. Per esempio, il polinomio $P(x)=x^2-x$ ha radici $0$ e $1$ perchè $P(0)=0$ e $P(1)=0$.
Nel caso del tuo polinomio, $x=0$ non è una radice perchè $P(0)=-1$. Il fatto che $P(x) \rightarrow +oo$ per $x \rightarrow oo$ garantisce che in un opportuno intorno $U(oo)$ assuma valori positivi, mentre per $x=0$ è negativo. Rimane solo da far riferimento ad un opportuno teorema.
La frase "radice di un polinomio significa soluzione" è priva di senso. Soluzione si dice riferendosi ad un'equazione (o più in generale ad un problema).
Radice di un polinomio $P(x)$ è ogni soluzione dell'equazione: $P(x)=0$. Per esempio, il polinomio $P(x)=x^2-x$ ha radici $0$ e $1$ perchè $P(0)=0$ e $P(1)=0$.
Nel caso del tuo polinomio, $x=0$ non è una radice perchè $P(0)=-1$. Il fatto che $P(x) \rightarrow +oo$ per $x \rightarrow oo$ garantisce che in un opportuno intorno $U(oo)$ assuma valori positivi, mentre per $x=0$ è negativo. Rimane solo da far riferimento ad un opportuno teorema.
Penso di aver capito. Sia a più che meno infinito è positiva, mentre sull'asse y è negativa, quindi per il teorema di Bolzano applicato sia all'intervallo [-inf, 0] che [0,+inf] esisteranno almeno un f(c) per intervallo tale che f(c) = 0.
"nut232":
non me lo sono dimenticata, mi sono distratta e risolvendo velocemente avevo messo FI, si chiamano errori di distrazione. Siamo uomini, non macchine, è dopo ore e ore (dalle 8) che fai calcoli, almeno per me, sono molto comuni!
Volevo solo dirti che questo genere di errori di distrazione si pagano molto cari, soprattutto in uno scritto, dove il professore, quando corregge, non ha la bacchetta magica per capire se e' un errore di distrazione o se lo studente non ha capito niente.
Aggiungo una cosa, ma cerca di non prenderla come polemica, ma piuttosto una cosa da cui puoi imparare qualcosa, giusto o sbagliato che tu lo ritenga, sul punto di vista adottato da quelli che stanno dall'altra parte della cattedra. Molti pensano (e decidi te se mettermi o no fra questi molti) che gli errori di distrazione sono possibili soltanto in una fase di puro calcolo, dove uno procede meccanicamente. In una fase dell'esercizio in cui uno deve ragionare (per esempio capire se una forma e' indeterminata o no), questi non sono possibili: le cose o uno le ha capite e digerite o le ha capite, ma non digerite, oppure non le ha neanche capite. Un errore di quel tipo potrebbe mostrare almeno che le cose non le hai digerite. Qualcuno per queste cose boccia, qualcun altro penalizza anche pesantemente, e qualcun altro fa finta di niente.
Il mio consiglio: nel dubbio, cerca di stare piu' attenta
"Valerio Capraro":
[quote="nut232"]
non me lo sono dimenticata, mi sono distratta e risolvendo velocemente avevo messo FI, si chiamano errori di distrazione. Siamo uomini, non macchine, è dopo ore e ore (dalle 8) che fai calcoli, almeno per me, sono molto comuni!
Volevo solo dirti che questo genere di errori di distrazione si pagano molto cari, soprattutto in uno scritto, dove il professore, quando corregge, non ha la bacchetta magica per capire se e' un errore di distrazione o se lo studente non ha capito niente.
Aggiungo una cosa, ma cerca di non prenderla come polemica, ma piuttosto una cosa da cui puoi imparare qualcosa, giusto o sbagliato che tu lo ritenga, sul punto di vista adottato da quelli che stanno dall'altra parte della cattedra. Molti pensano (e decidi te se mettermi o no fra questi molti) che gli errori di distrazione sono possibili soltanto in una fase di puro calcolo, dove uno procede meccanicamente. In una fase dell'esercizio in cui uno deve ragionare (per esempio capire se una forma e' indeterminata o no), questi non sono possibili: le cose o uno le ha capite e digerite o le ha capite, ma non digerite, oppure non le ha neanche capite. Un errore di quel tipo potrebbe mostrare almeno che le cose non le hai digerite. Qualcuno per queste cose boccia, qualcun altro penalizza anche pesantemente, e qualcun altro fa finta di niente.
Il mio consiglio: nel dubbio, cerca di stare piu' attenta
[/quote]Punto 1: Sono una persona, oltre che con poca memoria, davvero molto distratta, al liceo le prof mi conoscevano e non facevano che ripeterlo a mia madre; anche all'università qualche prof se n'è accorto, perchè magari una cosa che per 10 volte ho scritto bene, all'undicesima la scrivo male. Mi sono infastidita apposta per questo, perchè pago continuamente x la mia distrazione, con voti agli esami più bassi, e anche all'infuori dell'università, mi scordo sempre tutto dovunque, e non credo di dover dilungarmi oltre; e dopo più di vent'anni che sono fatta così, so sicuramente cosa vuol dire e le conseguenze che porta. Non è per risolvere questo problema che ho scritto sul forum. Punto 2: le forme indeterminate quando le trovi negli esercizi le riconosci perchè ormai le sai a memoria, senza dover ragionare sul perchè è o non è una forma indeterminata ( 2+2 =4, 0/0 =FI)
comunque manca una piccolissima cosa per finire la dimostrazione 
che tutto ciò è vero perchè a>0, e pensando al grafico di una curva di quarto grado che debba passare per (0,-1), penso possa avere una sola radice positiva e una sola negativa (a prescindere dal discorso delle soluzioni reali distinte-coincidenti)
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