Polinomio e funzione esponenziale
Salve a tutti, sono un nuovo iscritto. Non so come svolgere l'esercizio che segue
e vorrei un vostro aiuto.
Sia f(X, Y) un polinomio reale che si annulla sul grafico della funzione esponenziale.
Dimostrare che f = 0.
Grazie anticipatamente per l'attenzione!
e vorrei un vostro aiuto.
Sia f(X, Y) un polinomio reale che si annulla sul grafico della funzione esponenziale.
Dimostrare che f = 0.
Grazie anticipatamente per l'attenzione!
Risposte
Salve, nessuno potrebbe darmi una mano?
Cioè tu parti dal fatto che si annulla sull'insieme
${(x,e^x) in RR^2 : x in RR}$ e devi mostrare
che se si annulla su tale insieme, allora
è identicamente nulla su tutto $RR^2$?
${(x,e^x) in RR^2 : x in RR}$ e devi mostrare
che se si annulla su tale insieme, allora
è identicamente nulla su tutto $RR^2$?
Esatto!
Prova a verificare che TUTTE le derivate direzionali
della $f(x,y)$ calcolate in OGNI punto del grafico
di $y=e^x$ siano nulle. Questo vorrebbe dire che
la funzione è costante, infatti è differenziabile
in $RR^2$ essendo un polinomio, e se tutte
le derivate direzionali fossero nulle in ogni
punto del grafico di $e^x$, il differenziale di $f$
sarebbe identicamente nullo, quindi $f$ costante
(e in particolare, nulla).
della $f(x,y)$ calcolate in OGNI punto del grafico
di $y=e^x$ siano nulle. Questo vorrebbe dire che
la funzione è costante, infatti è differenziabile
in $RR^2$ essendo un polinomio, e se tutte
le derivate direzionali fossero nulle in ogni
punto del grafico di $e^x$, il differenziale di $f$
sarebbe identicamente nullo, quindi $f$ costante
(e in particolare, nulla).
Naturalmente, dato che $f$ risulta differenziabile
in $RR^2$ puoi calcolare le derivate direzionali
in un punto del grafico di $e^x$ con la formula
del gradiente. Preso un vettore qualunque
$v=((a),(b)) in RR^2$ si ha:
$D_v(x,e^x)=(:gradf(x,e^x),v:)
in $RR^2$ puoi calcolare le derivate direzionali
in un punto del grafico di $e^x$ con la formula
del gradiente. Preso un vettore qualunque
$v=((a),(b)) in RR^2$ si ha:
$D_v(x,e^x)=(:gradf(x,e^x),v:)
Sia $P(z)$ un polinomio complesso definito nell'intero campo complesso. Esprimendo il generico numero complesso $z$ come somma di una parte reale e una immaginaria otteniamo $z=x+jy$, per cui possiamo considerare il polinomio $P$ come funzione complessa di due variabili reali, ovvero $P(x,y)$. Ovviamente un polinomio in campo complesso è una funzione intera, cioè olomorfa in tutto $CC$. Tuttavia il polinomio $P$ deve essere reale. Ma dalla condizione di Cauchy-Riemann, risulta che una funzione olomorfa in un aperto connesso che sia puramente reale è anche costante. Siccome il polinomio $P$ assume il valore $0$ in almeno un punto, essendo costante è identicamente nullo.
Innanzitutto vi ringrazio per l'attenzione!
@Kroldar Quindi se ho ben capito sarebbe stato sufficiente che f si fosse annullato
anche in un solo punto?
@Kroldar Quindi se ho ben capito sarebbe stato sufficiente che f si fosse annullato
anche in un solo punto?
Scusate l'intromissione...
la versione puramente reale di fireball funzia?
non riesco ad osservare che si annullano le derivate... :\
la versione puramente reale di fireball funzia?
non riesco ad osservare che si annullano le derivate... :\
A dire il vero nemmeno io 
"erasmo":
Innanzitutto vi ringrazio per l'attenzione!
@Kroldar Quindi se ho ben capito sarebbe stato sufficiente che f si fosse annullato
anche in un solo punto?
Esatto...
Ma per esempio x + y non è costante
Per come ho definito $z$ però quello non è un polinomio.
Ora che ci penso quello che ti ho scritto io potrebbe valere solo quando si definisce un polinomio nella variabile $z=x+jy$.
A questo punto credo esista una dimostrazione che non scomoda i numeri complessi e anche più generale...
Ora che ci penso quello che ti ho scritto io potrebbe valere solo quando si definisce un polinomio nella variabile $z=x+jy$.
A questo punto credo esista una dimostrazione che non scomoda i numeri complessi e anche più generale...
Io la mia versione "reale" ci ho provato a darla...
Certo fire non era mia intenzione sminuire la tua soluzione... paradossalmente mi so muovere molto meglio in campo complesso che in campo reale, perciò ho proposto quella soluzione
Lo so, tranquillo! 
Anche il nostro prof di Analisi II, un grande,
ci dice spesso che muoversi nei complessi
è più comodo che muoversi nei reali...
Anche il nostro prof di Analisi II, un grande,
ci dice spesso che muoversi nei complessi
è più comodo che muoversi nei reali...
@fireball non potresti scrivermi esplicitamente $D_v(x,e^x)$? so che sono noioso...
La mia era solo un'idea, non so
se verranno complicati i calcoli... In ogni
caso in questo momento mi sto occupando
di equazioni differenziali e relativi sistemi,
lunedì ho il primo esame del nuovo anno
per cui non ho molto tempo... Mi dispiace.
se verranno complicati i calcoli... In ogni
caso in questo momento mi sto occupando
di equazioni differenziali e relativi sistemi,
lunedì ho il primo esame del nuovo anno
per cui non ho molto tempo... Mi dispiace.
Grazie lo stesso! 
Si potrebbe ragionare così: sia $P(x,y)$ un polinomio reale nelle due variabili reali $x$ e $y$ dato dalla somma di un numero finito di termini del tipo $alpha_i x^n y^k$ con $alpha_i in RR$, $n,k in NN$.
Per $y=e^x$ il polinomio si annulla, dunque $P$ sarà la somma di tanti termini del tipo $alpha_i x^n e^(kx)$. Evidentemente tale somma è nulla solo nel caso di coefficienti $alpha_i$ identicamente nulli, dunque il polinomio è costante e vale $0$.
Per $y=e^x$ il polinomio si annulla, dunque $P$ sarà la somma di tanti termini del tipo $alpha_i x^n e^(kx)$. Evidentemente tale somma è nulla solo nel caso di coefficienti $alpha_i$ identicamente nulli, dunque il polinomio è costante e vale $0$.
@Fireball:
le derivate direzionali non si annullano in quel luogo... ho fatto i calcoli...
in ogni caso, non mi è ben chiaro il tuo procedimento... anche se si fossero annullate le derivate direzionali, come avresti dedotto che la funzione era identicamente nulla? (dovresti considerare che la funzione è un polinomio, giusto? altrimenti non è vero)...
@Kroldar:
ok l'ultima tua affermazione è vera... ma non ovvia...
le derivate direzionali non si annullano in quel luogo... ho fatto i calcoli...
in ogni caso, non mi è ben chiaro il tuo procedimento... anche se si fossero annullate le derivate direzionali, come avresti dedotto che la funzione era identicamente nulla? (dovresti considerare che la funzione è un polinomio, giusto? altrimenti non è vero)...
@Kroldar:
ok l'ultima tua affermazione è vera... ma non ovvia...
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