Polinomio di taylor per funzioni a più variabili
ciao a tutti!come funziona per il polinomio di taylor con funzioni a più variabili????
non capisco bene la formula,c'è qualcuno che mi illumina con un esempio anche banale come si procede?
non capisco bene la formula,c'è qualcuno che mi illumina con un esempio anche banale come si procede?
Risposte
tipo,chi sa come si fa il polinomio di Maclaurin di grado 4 per la funzione:
$f(x,y)=sen(xe^(xy))$ ???
è un casino,bisogna fare le derivate parziali che son lunghissime.....si potrebbe sfruttare il teorema di unicità del polinomio ma nn so come.....
$f(x,y)=sen(xe^(xy))$ ???
è un casino,bisogna fare le derivate parziali che son lunghissime.....si potrebbe sfruttare il teorema di unicità del polinomio ma nn so come.....
Scrivere esplicitamente il polinomio di Taylor per funzioni di più variabili non è una bell'esperienza...
Si tratta di calcolare le $2$ derivate parziali prime, le $3$ derivate seconde (ricorda il teorema di Schwarz: poichè le derivate miste d'ogni ordine sono continue, quelle che differiscono solo per l'ordine di derivazione coincidono), le $4$ derivate terze e le $5$ derivate quarte della tua funzione $f(x,y)$ (quindi devi derivare $14$ volte in tutto!) e poi applicare la formula seguente:
$P_4(x,y;x_0,y_0)=\sum_(\stackrel{h+k=0, \ldots, 4}{h,k in NN_0}) 1/(h!k!)*(\partial^(h+k)f)/(\partial x^h\partial y^k)(x_0,y_0)*(x-x_0)^h(y-y_0)^k quad$.
Ovviamente, nel caso di sviluppo di McLaurin si prende come punto iniziale $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Buona fortuna!
P.S.: Evidentemente più aumentano le variabili e l'ordine del polinomio, più aumentano le derivate da calcolare.
Supponiamo di avere $n$ variabili e di voler calcolare le derivate di ordine $m$ d'una funzione $f$ di classe $C^oo$ (ipotesi comoda, perchè vale il teorema di Schwarz): ebbene calcolando le sole derivate "interessanti" di $f$ (cioè facendo a meno di calcolare una derivata che differisca da qualcuna determinata in precedenza solo per l'ordine dei fattori) ci troviamo a fare esattamente $((m+n-1),(m))=((m+n-1)!)/(m! (n-1)!)$ derivate.
Si tratta di calcolare le $2$ derivate parziali prime, le $3$ derivate seconde (ricorda il teorema di Schwarz: poichè le derivate miste d'ogni ordine sono continue, quelle che differiscono solo per l'ordine di derivazione coincidono), le $4$ derivate terze e le $5$ derivate quarte della tua funzione $f(x,y)$ (quindi devi derivare $14$ volte in tutto!) e poi applicare la formula seguente:
$P_4(x,y;x_0,y_0)=\sum_(\stackrel{h+k=0, \ldots, 4}{h,k in NN_0}) 1/(h!k!)*(\partial^(h+k)f)/(\partial x^h\partial y^k)(x_0,y_0)*(x-x_0)^h(y-y_0)^k quad$.
Ovviamente, nel caso di sviluppo di McLaurin si prende come punto iniziale $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Buona fortuna!
P.S.: Evidentemente più aumentano le variabili e l'ordine del polinomio, più aumentano le derivate da calcolare.
Supponiamo di avere $n$ variabili e di voler calcolare le derivate di ordine $m$ d'una funzione $f$ di classe $C^oo$ (ipotesi comoda, perchè vale il teorema di Schwarz): ebbene calcolando le sole derivate "interessanti" di $f$ (cioè facendo a meno di calcolare una derivata che differisca da qualcuna determinata in precedenza solo per l'ordine dei fattori) ci troviamo a fare esattamente $((m+n-1),(m))=((m+n-1)!)/(m! (n-1)!)$ derivate.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo