Polinomio di Taylor-Lagrange - Errore
Esercizio:
Si dimostri che per la funzione $ln(x)$, con $x_0 = 1$, nell'intervallo $0.9 < x < 1.1$ il polinomio di Taylor $P_6$ approssima la funzione a meno di $3 * 10^(-8)$.
Per il polinomio ho chiesto aiuto a Derive. Quindi ho:
$P_6 (x) = - 1/60 * (10 x^6 - 72 x^5 + 225 x^4 - 400 x^3 + 450 x^2 - 360 x + 147)$
La derivata settima è : $f^7 (x) = 720/x^7$
$f(x) = P_6(x) + 720/( xi * 7! ) ( x - 1 )^7 = P_6(x) + 1 /( xi * 7 ) ( x - 1 )^7$
Questo dovrebbe essere il polinomio di Taylor con il resto nella forma di Lagrange.
Ma come risolvo l'esercizio?
Grazie in anticipo.
Si dimostri che per la funzione $ln(x)$, con $x_0 = 1$, nell'intervallo $0.9 < x < 1.1$ il polinomio di Taylor $P_6$ approssima la funzione a meno di $3 * 10^(-8)$.
Per il polinomio ho chiesto aiuto a Derive. Quindi ho:
$P_6 (x) = - 1/60 * (10 x^6 - 72 x^5 + 225 x^4 - 400 x^3 + 450 x^2 - 360 x + 147)$
La derivata settima è : $f^7 (x) = 720/x^7$
$f(x) = P_6(x) + 720/( xi * 7! ) ( x - 1 )^7 = P_6(x) + 1 /( xi * 7 ) ( x - 1 )^7$
Questo dovrebbe essere il polinomio di Taylor con il resto nella forma di Lagrange.
Ma come risolvo l'esercizio?
Grazie in anticipo.
Risposte
In realtà non mi serve l'esercizio fatto (visto che sembra ripieno di calcoli). Mi piacerebbe sapere come svolgerlo, capire il meccanismo.
In sostanza credo che chieda di capire se $f(x) - P_6(x) = "Resto" <= 3*10^(-8)$ , $AA x in ] 0.9 , 1.1 [$.
Come lo dimostro?
In sostanza credo che chieda di capire se $f(x) - P_6(x) = "Resto" <= 3*10^(-8)$ , $AA x in ] 0.9 , 1.1 [$.
Come lo dimostro?
Al posto di usare il mostruoso $P_6$ che hai scritto, ti conviene considerare lo sviluppo della funzione
$g(x) = \log(1+x)$
centrato in $x_0 = 0$, con $|x| < 0.1$.
Scrivendo il resto di Lagrange, avrai che per ogni $|x|<0.1$ esiste $\xi_x$ nell'intervallo di estremi $0$ e $x$ tale che
$|r(x)| = |\frac{g^{(7)}(\xi_x)}{7!} x^7| = \frac{|x|^7}{7(1+\xi_x)^7}.$
Dal momento che $|x| < 0.1$ anche $|\xi_x| < 0.1$, quindi
$|r(x)| < \frac{0.1^7}{7(0.9)^7}$,
che è abbondantemente più piccolo di $3\cdot 10^{-8}$.
(Controlla i numeretti...)
Edit: mancava uno numeretto a denominatore, corretto dopo l'intervento di pater.
L'avevo detto di controllare i numeretti
$g(x) = \log(1+x)$
centrato in $x_0 = 0$, con $|x| < 0.1$.
Scrivendo il resto di Lagrange, avrai che per ogni $|x|<0.1$ esiste $\xi_x$ nell'intervallo di estremi $0$ e $x$ tale che
$|r(x)| = |\frac{g^{(7)}(\xi_x)}{7!} x^7| = \frac{|x|^7}{7(1+\xi_x)^7}.$
Dal momento che $|x| < 0.1$ anche $|\xi_x| < 0.1$, quindi
$|r(x)| < \frac{0.1^7}{7(0.9)^7}$,
che è abbondantemente più piccolo di $3\cdot 10^{-8}$.
(Controlla i numeretti...)
Edit: mancava uno numeretto a denominatore, corretto dopo l'intervento di pater.
L'avevo detto di controllare i numeretti
"Seneca":
In realtà non mi serve l'esercizio fatto (visto che sembra ripieno di calcoli). Mi piacerebbe sapere come svolgerlo, capire il meccanismo.
In sostanza credo che chieda di capire se $f(x) - P_6(x) = "Resto" <= 3*10^(-8)$ , $AA x in ] 0.9 , 1.1 [$.
Come lo dimostro?
Permettimi di ragionare con te. Tecnicamente, sarebbe da dimostrare
$| f(x) - P_6(x) | <= 3*10^(-8)$ ovvero in valore assoluto..
Ora. Abbiamo:
$f(x) - P_6(x) = 720/( xi * 7! ) ( x - 1 )^7$
Ora.. Dato che $xi in ]0.9, 1.1[$ per $x in ]0.9, 1.1[$, potremmo maggiorare:
$720/( xi * 7! ) ( x - 1 )^7 <= 720/( 0.9 * 7! ) ( 1.1 - 1 )^7 = 1.6 cdot 10^(-8) < 3 cdot 10^(-8)$
Correggimi se sbaglio
"Rigel":
Al posto di usare il mostruoso $P_6$ che hai scritto, ti conviene considerare lo sviluppo della funzione
$g(x) = \log(1+x)$
centrato in $x_0 = 0$, con $|x| < 0.1$.
Scrivendo il resto di Lagrange, avrai che per ogni $|x|<1$ esiste $\xi_x$ nell'intervallo di estremi $0$ e $x$ tale che
$|r(x)| = |\frac{g^{(7)}(\xi_x)}{7!} x^7| = \frac{|x|^7}{7(1+\xi_x)^7}.$
Dal momento che $|x| < 0.1$ anche $|\xi_x| < 0.1$, quindi
$|r(x)| < \frac{0.1^7}{7}$,
che è abbondantemente più piccolo di $3\cdot 10^{-8}$.
(Controlla i numeretti...)
"Rigel":
Scrivendo il resto di Lagrange, avrai che per ogni $|x|<1$ esiste ...
Perfetto. Ma non capisco perché $|x|<1$. Forse è dovuto al dominio della funzione logaritmo?
E' sempre $0.1$ (comunque è tutto vero anche lasciando $1$.)
[ ... ]
Mi chiedo il problema inverso. Determinare fino a che ordine devo sviluppare il polinomio di Taylor di $ln(x)$ per avere $|r(x)| < 10^(-4)$ in $]0.5 , 1.5[$
Consideriamo sempre $ln( 1 + x )$ in un intorno dello $0$.
1) Il resto n-esimo è $|r(x)| = ((- 1)^(n+2)/((n+1)!)) x^(n+1)$ ?
2) $((- 1)^n)/((n+1)!) x^(n+1)$
Poiché $| x | < 1$, $|r(x)| < |1/((n+1)!) | < 10^(-4)$
$10^4 < (n+1)!$
$10^4 < (7+1)! = 4.032 * 10^4$
Quindi $n = 7$. E' giusto?
Consideriamo sempre $ln( 1 + x )$ in un intorno dello $0$.
1) Il resto n-esimo è $|r(x)| = ((- 1)^(n+2)/((n+1)!)) x^(n+1)$ ?
2) $((- 1)^n)/((n+1)!) x^(n+1)$
Poiché $| x | < 1$, $|r(x)| < |1/((n+1)!) | < 10^(-4)$
$10^4 < (n+1)!$
$10^4 < (7+1)! = 4.032 * 10^4$
Quindi $n = 7$. E' giusto?
Ho ricontrollato un po' i conti e mi sono accorto che c'erano errori.
Tuttavia si verifica che:
$| ln( 0.4999 + 1 ) - P_7 (0.4999) | > 10^(-4)$ !!
Ma $0.4999$ dovrebbe cadere dentro l'intorno $| x | < 1$.
Mi sono accorto che per risolvere l'esercizio avrei dovuto imporre solamente $| x | < 1/2$... Ma la cosa non cambiava. Ho posto $| x | < 1$, quindi in un intorno di raggio $1$ (ancora più grande) , lo scarto tra il polinomio e la funzione doveva essere $< 10^(-4)$, cosa che non avviene. Perché?
Tuttavia si verifica che:
$| ln( 0.4999 + 1 ) - P_7 (0.4999) | > 10^(-4)$ !!
Ma $0.4999$ dovrebbe cadere dentro l'intorno $| x | < 1$.
Mi sono accorto che per risolvere l'esercizio avrei dovuto imporre solamente $| x | < 1/2$... Ma la cosa non cambiava. Ho posto $| x | < 1$, quindi in un intorno di raggio $1$ (ancora più grande) , lo scarto tra il polinomio e la funzione doveva essere $< 10^(-4)$, cosa che non avviene. Perché?
"Seneca":
1) Il resto n-esimo è $|r(x)| = ((- 1)^(n+2)/((n+1)!)) x^(n+1)$ ?
No.
$|r(x)| \le \frac{|x|^{n+1}}{n+1}$.
Ora si spiega tutto.
Grazie!
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