Polinomio di Taylor in più variabili
Determinare il polinomio di Taylor centrato in $(1,2)$, di ordine 7, della funzione: $f(x,y)=xe^(xy)$
Io ho ragionato così: ponendo $xy=z$, per ottenere il polinomio di Taylor di grado
7 della funzione data, occorre determinare il polinomio di grado 6 di $f(z)=e^z$ centrato
in $z=2$, ovvero, $T_6 (z) = sum_(k=1)^6 e^2 ((z-2)^k)/(k!) = e^2 sum_(k=1)^6 ((z-2)^k)/(k!)$
Per cui il polinomio di Taylor di ordine 7 di $xe^(xy)$ centrato in $(1,2)$ dovrebbe essere:
$T_7 (x,y) = xe^2 sum_(k=1)^6 ((xy-2)^k)/(k!)
Tutto ciò è corretto?
Io ho ragionato così: ponendo $xy=z$, per ottenere il polinomio di Taylor di grado
7 della funzione data, occorre determinare il polinomio di grado 6 di $f(z)=e^z$ centrato
in $z=2$, ovvero, $T_6 (z) = sum_(k=1)^6 e^2 ((z-2)^k)/(k!) = e^2 sum_(k=1)^6 ((z-2)^k)/(k!)$
Per cui il polinomio di Taylor di ordine 7 di $xe^(xy)$ centrato in $(1,2)$ dovrebbe essere:
$T_7 (x,y) = xe^2 sum_(k=1)^6 ((xy-2)^k)/(k!)
Tutto ciò è corretto?
Risposte
Per calcolare il polinomio di Taylor, puoi anche semplicemente calcolare le derivate parziali della funzione......
Eh già... Semplicemente...
Ma per evitare il calcolo, lungo e noioso
(che poi penso sicuramente non sarà
stato necessario all'esame) ho
cercato un altro modo.
La domanda è: è giusto il ragionamento che ho fatto?
Ma per evitare il calcolo, lungo e noioso
(che poi penso sicuramente non sarà
stato necessario all'esame) ho
cercato un altro modo.
La domanda è: è giusto il ragionamento che ho fatto?
uhm...
per k=6 ti viene un monomio di grado $1+2*6 = 13$, mi pare...
se vuoi passare attraverso il polinomio di Taylor per funzioni di 1 variabile devi sincerarti alla fine di avere tutti i monomi che devi avere fino al grado richiesto, e, se necessario, devi buttare via quelli che sono in più
per k=6 ti viene un monomio di grado $1+2*6 = 13$, mi pare...
se vuoi passare attraverso il polinomio di Taylor per funzioni di 1 variabile devi sincerarti alla fine di avere tutti i monomi che devi avere fino al grado richiesto, e, se necessario, devi buttare via quelli che sono in più
Altrimenti se voui necessariamente svilupparlo in una variabile, sviluppi la funzione nelle coordinate polari $x=ro*cos(teta); y=ro*sin(teta)$ consideri teta una costante e derivi solo $ro$...il valore di $teta$ lo si fissa poi in base alla direzione in cui ci si muove, ossia $f(x,y)$ si può scrivere anche $f(x0+h,y0+k)$, ad esempio se dopo aver calcolato il polinomio in (1,2) vogliamo aprossimare con la serie di grado 7 la funzione nel punto (3,4) allora equivale a scrivere $f(1+h,2+k)$ con $h=x-x0=3-1=2$ e $k=y-y0=4-2=2$ dunque $teta$ la fissiamo 45°visto che le variabili vengono incrementate entrambe di 2.
E' un'idea... Comunque, credo che si intenda
che una sola della due variabili debba essere di
grado 7... Ecco cosa restituisce Derive, dopo
aver sviluppato la sommatoria che ho scritto:
PS. Alexp, potresti cancellare la Matematica
che hai scritto nel tuo primo post in questo topic?
Con quella, il caricamento del topic è molto appesantito.
che una sola della due variabili debba essere di
grado 7... Ecco cosa restituisce Derive, dopo
aver sviluppato la sommatoria che ho scritto:
PS. Alexp, potresti cancellare la Matematica
che hai scritto nel tuo primo post in questo topic?
Con quella, il caricamento del topic è molto appesantito.
Forse dovrei fermarmi a $-(e^2 x^4 y^3)/18$ ?
scusa non ho capito, non sono molto pratico del sito cosa intendi?
Se potevi cancellare questo e i due simboli di
dollaro che sono accanto:
f(x,y)=f(x0,y0)+(f'x(x0,y0)*(x-x0)+f'y(x0,y0)*(y-y0))+......
dollaro che sono accanto:
f(x,y)=f(x0,y0)+(f'x(x0,y0)*(x-x0)+f'y(x0,y0)*(y-y0))+......
Ok grazie... Dicevo... Forse devo fermarmi lì?
Sinceramente non lo so.......il metodo che io utilizzerei te lo ho postato prima del tuo post in cui inserisci la serie ottenuta con derive
Ok... Comunque a me sembra corretto,
solo però mi dovevo fermare un po' prima...
Aspettiamo la risposta di qualcun altro.
solo però mi dovevo fermare un po' prima...
Aspettiamo la risposta di qualcun altro.
Dovrebbe essere così:
$T_7 (x,y) = e^2 x sum_(k=1)^3 ((xy-2)^k)/(k!)
Mi confermate questo risultato?
$T_7 (x,y) = e^2 x sum_(k=1)^3 ((xy-2)^k)/(k!)
Mi confermate questo risultato?
premessa: non chiedetemi conferme sui conti, non sono il tipo adatto...
riguardo al poliniomio di Taylor di ordine 7, si intende che hai un polinomio di grado al massimo uguale a 7 (potrebbe essere minore se si annullassero tutte le derivate parziali di ordine 7; cose del genere accadono, per le funzioni di una variabile, nello sviluppo delle funzioni $\sin$ e $\cos$). Naturalmente non si tratta di un poliniomio qualsiasi... I coefficienti sono dati dalla ben nota espressione che si trova nella formula di Taylor
ora, un polinomio è di grado 7 se il suo monomio di grado più alto (con coefficiente non nullo) ha grado 7
a questo proposito, quando dici: "credo che si intenda che una sola della due variabili debba essere di grado 7...", beh questa è una credenza sbagliata
$x^7y^7$ è un monomio di grado 14
riguardo al poliniomio di Taylor di ordine 7, si intende che hai un polinomio di grado al massimo uguale a 7 (potrebbe essere minore se si annullassero tutte le derivate parziali di ordine 7; cose del genere accadono, per le funzioni di una variabile, nello sviluppo delle funzioni $\sin$ e $\cos$). Naturalmente non si tratta di un poliniomio qualsiasi... I coefficienti sono dati dalla ben nota espressione che si trova nella formula di Taylor
ora, un polinomio è di grado 7 se il suo monomio di grado più alto (con coefficiente non nullo) ha grado 7
a questo proposito, quando dici: "credo che si intenda che una sola della due variabili debba essere di grado 7...", beh questa è una credenza sbagliata
$x^7y^7$ è un monomio di grado 14
Appunto, ok! Quindi dovrebbe
essere giusta l'ultima sommatoria
che ho scritto, infatti con quella si arriva a:
$(e^2x^4y^3)/6$ (che è di grado 7)
e ci si ferma qui, non si va oltre.
essere giusta l'ultima sommatoria
che ho scritto, infatti con quella si arriva a:
$(e^2x^4y^3)/6$ (che è di grado 7)
e ci si ferma qui, non si va oltre.
"fireball":
Dovrebbe essere così:
$T_7 (x,y) = e^2 x sum_(k=1)^3 ((xy-2)^k)/(k!)
Mi confermate questo risultato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo