Polinomio di Taylor in due variabili
Salve ragazzi,
mi servirebbe un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di un Polinomio di Taylor in due variabili...
Determinare il polinomio di Taylor con punto base a=(0,0) di 2° grado per la funzione f: R^2 _ R
f (x, y) = x e^3y - x y^2 + 1
Probabilmente non mi trovo con il risultato perché sbaglio le derivate parziali...
Se qualcuno potesse risolverla e postarmi i vari passaggi (soprattutto le modalità di risoluzione delle derivate) gliene sarei immensamente grato!
mi servirebbe un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di un Polinomio di Taylor in due variabili...
Determinare il polinomio di Taylor con punto base a=(0,0) di 2° grado per la funzione f: R^2 _ R
f (x, y) = x e^3y - x y^2 + 1
Probabilmente non mi trovo con il risultato perché sbaglio le derivate parziali...
Se qualcuno potesse risolverla e postarmi i vari passaggi (soprattutto le modalità di risoluzione delle derivate) gliene sarei immensamente grato!
Risposte
"Samuel1987":
Salve ragazzi,
mi servirebbe un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di un Polinomio di Taylor in due variabili...
Determinare il polinomio di Taylor con punto base a=(0,0) di 2° grado per la funzione f: R^2 _ R
f (x, y) = x e^3y - x y^2 + 1
Probabilmente non mi trovo con il risultato perché sbaglio le derivate parziali...
Se qualcuno potesse risolverla e postarmi i vari passaggi (soprattutto le modalità di risoluzione delle derivate) gliene sarei immensamente grato!
Ma ti servono davvero le derivate parziali? Ti serve solo il polinomio di Taylor di secondo grado..
Francesco Daddi
"franced":
[quote="Samuel1987"]Salve ragazzi,
mi servirebbe un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di un Polinomio di Taylor in due variabili...
Determinare il polinomio di Taylor con punto base a=(0,0) di 2° grado per la funzione f: R^2 _ R
f (x, y) = x e^3y - x y^2 + 1
Probabilmente non mi trovo con il risultato perché sbaglio le derivate parziali...
Se qualcuno potesse risolverla e postarmi i vari passaggi (soprattutto le modalità di risoluzione delle derivate) gliene sarei immensamente grato!
Ma ti servono davvero le derivate parziali? Ti serve solo il polinomio di Taylor di secondo grado..
Francesco Daddi[/quote]
Sicuro? Quando le variabili sono più di una non si procede con le derivate parziali?
In ogni caso, potete indicarmi il procedimento per eseguire la derivata prima e seconda parziale di questa funzione?
$ f(x,y ) = xe^(3y)-xy^2+1 $
Se devi derivare la funzione rispetto alla $x$ , calcolare cioè $(delf(x,y))/(delx) $, devi considerare la $y $ come una costante e otterrai quindi
$(delf(x,y))/(delx) = e^(3y)-y^2 $ .
Analogamente sarà $(delf(x,y))/(dely) = 3xe^(3y)-2xy $ ( considerando la $x $ come una costante).
OK ?
Se devi derivare la funzione rispetto alla $x$ , calcolare cioè $(delf(x,y))/(delx) $, devi considerare la $y $ come una costante e otterrai quindi
$(delf(x,y))/(delx) = e^(3y)-y^2 $ .
Analogamente sarà $(delf(x,y))/(dely) = 3xe^(3y)-2xy $ ( considerando la $x $ come una costante).
OK ?
"Camillo":
$ f(x,y ) = xe^(3y)-xy^2+1 $
Se devi derivare la funzione rispetto alla $x$ , calcolare cioè $(delf(x,y))/(delx) $, devi considerare la $y $ come una costante e otterrai quindi
$(delf(x,y))/(delx) = e^(3y)-y^2 $ .
Analogamente sarà $(delf(x,y))/(dely) = 3xe^(3y)-2xy $ ( considerando la $x $ come una costante).
OK ?
Grazie!
"Samuel1987":
[quote="Camillo"]$ f(x,y ) = xe^(3y)-xy^2+1 $
Se devi derivare la funzione rispetto alla $x$ , calcolare cioè $(delf(x,y))/(delx) $, devi considerare la $y $ come una costante e otterrai quindi
$(delf(x,y))/(delx) = e^(3y)-y^2 $ .
Analogamente sarà $(delf(x,y))/(dely) = 3xe^(3y)-2xy $ ( considerando la $x $ come una costante).
OK ?
Grazie![/quote]
Ma perché volete usare per forza le derivate parziali?
Basta sviluppare $e^{3y}$ in $y=0$:
$e^{3y} = 1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...$
sostituisci e trovi che lo sviluppo di secondo grado per $f(x,y)$ è dato da:
$f(x,y) = 1 + x +3xy$
Francesco Daddi
"franced":
[quote="Samuel1987"][quote="Camillo"]$ f(x,y ) = xe^(3y)-xy^2+1 $
Se devi derivare la funzione rispetto alla $x$ , calcolare cioè $(delf(x,y))/(delx) $, devi considerare la $y $ come una costante e otterrai quindi
$(delf(x,y))/(delx) = e^(3y)-y^2 $ .
Analogamente sarà $(delf(x,y))/(dely) = 3xe^(3y)-2xy $ ( considerando la $x $ come una costante).
OK ?
Grazie![/quote]
Ma perché volete usare per forza le derivate parziali?
Basta sviluppare $e^{3y}$ in $y=0$:
$e^{3y} = 1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...$
sostituisci e trovi che lo sviluppo di secondo grado per $f(x,y)$ è dato da:
$f(x,y) = 1 + x +3xy$
Francesco Daddi[/quote]
Scusa Francesco,
purtroppo non sono molto pratico... potresti spiegarmi brevemente perché hai agito in questa maniera? Ti chiedo troppo se ti chiedo di mostrarmi i passaggi per arrivare al risultato? Altrimenti non riesco a rendermi conto bene...
Grazie
Visto che la funzione $f$ ha la forma
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x e^{3y}$,
sviluppo $e^{3y}$ in $y=0$:
$e^{3y} = 1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...$
e sostituisco nell'espressione di $f(x,y)$, ottenendo:
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x (1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...)$
$= 1 - xy^2 + x + 3xy + frac{9}{2} xy^2 + ...$
togliendo i monomi con grado $> 2$ restano questi:
$1 + x + 3xy$
Capito?
Francesco Daddi
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x e^{3y}$,
sviluppo $e^{3y}$ in $y=0$:
$e^{3y} = 1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...$
e sostituisco nell'espressione di $f(x,y)$, ottenendo:
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x (1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...)$
$= 1 - xy^2 + x + 3xy + frac{9}{2} xy^2 + ...$
togliendo i monomi con grado $> 2$ restano questi:
$1 + x + 3xy$
Capito?
Francesco Daddi
Giusto e rapido.
Va comunque detto che lo sviluppo di $ e^(3y)$ è ottenuto tramite lo sviluppo di Taylor (anzi di Mc Laurin) a una variabile.
Va comunque detto che lo sviluppo di $ e^(3y)$ è ottenuto tramite lo sviluppo di Taylor (anzi di Mc Laurin) a una variabile.
"Camillo":
Giusto e rapido.
Va comunque detto che lo sviluppo di $ e^(3y)$ è ottenuto tramite lo sviluppo di Taylor (anzi di Mc Laurin) a una variabile.
Si può aggiungere che, essendo moltiplicato per $x$, basta dire che il termine $e^{3y}$
è approssimabile come
$e^{3y} = 1 + 3y$
dato che gli altri termini, moltiplicati per $x$, danno un grado $> 2$.
Già a prima vista non ho considerato il termine $-xy^2$, perché di grado 3.
Francesco Daddi
"franced":
Visto che la funzione $f$ ha la forma
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x e^{3y}$,
sviluppo $e^{3y}$ in $y=0$:
$e^{3y} = 1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...$
e sostituisco nell'espressione di $f(x,y)$, ottenendo:
$f(x,y) = 1 - xy^2 + x (1 + 3y + frac{9}{2} y^2 + ...)$
$= 1 - xy^2 + x + 3xy + frac{9}{2} xy^2 + ...$
togliendo i monomi con grado $> 2$ restano questi:
$1 + x + 3xy$
Capito?
Francesco Daddi
Ora è chiaro
Grazie
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